(a)

Passo 1

Vamos resolver o exercício . Esse problema está relacionado aos números complexos, que combinam números reais com a unidade imaginária , onde . Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de multiplicação de números complexos e elevar um número complexo ao quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Para elevar um número complexo ao quadrado, usamos a fórmula . Aqui, e .

Passo 3

Aplicando os valores na fórmula:
Calculando cada termo:

Passo 4

Somando os termos:
Então, .

Passo 5

Agora, vamos multiplicar o resultado pelo outro número complexo, :
Para multiplicar dois números complexos, usamos a distributiva:

Passo 6

Calculando cada termo:
Note que usamos para simplificar o último termo.

Passo 7

Somando todos os termos:

Resposta

O resultado de é .

Exercícios relacionados

  1. Demonstre que
onde
é o operador laplaciano.
11. Demonstra-se que é holomorfa em se, e somente se, é diferenciável em e, nesse caso,
em ou seja,
em , por (2.29). Portanto, uma condição necessária e suficiente para que seja holomorfa é a seguinte: o coeficiente de deve nulo em (2.30), isto é, deve ser proporcional a , onde é o coeficiente de proporcionalidade.
Como exercício, determine que condições as constantes reais e devem satisfazer para que a função
seja holomorfa.
12. Caso seja uma função holomorfa e seja constante, mostre que é constante.
Sugestão: Use as condições de Cauchy-Riemann supracitadas.
13. Determine uma função tal que .

Resolução

é harmônica. Agora, suponha que existe tal que seja holomorfa em todo . Assim, pelas condições de Cauchy-Riemann,
Portanto,
Consequentemente,
Logo, como , temos . Assim,
Portanto,
  1. Encontre a função tal que (ou explique porque essa função não existe).
    2.6.3 Integrais
  2. Seja a circunferência unitária parametrizada por , onde .
    (a) calcule a integral
Calcule as integrais indefinidas, usando mudança de variáveis:
®
Problema 5 Determine uma equação da reta tangente ao gráfico de no ponto .