Calcule as integrais indefinidas utilizando o método da substituição: integral 12 x+23 x^2+x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral indefinida:
integral 12x + 23x^2 + x , dx
Conteúdo da matéria: Vamos usar o método da substituição para resolver integrais. Esse método é útil quando a integral parece complicada, mas pode ser simplificada mudando de variável.
O que precisamos: Precisamos identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma nova variável para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração da integral:
12x + 23x^2 + x
Podemos fatorar o denominador:
3x^2 + x = x(3x + 1)
Então, a fração fica:
12x + 2x(3x + 1)

Passo 3

Agora, vamos tentar dividir o numerador pelo denominador para simplificar ainda mais. Vamos ver se conseguimos expressar a fração como uma soma de termos mais simples.
Dividindo por , percebemos que o grau do numerador é menor que o do denominador, então não precisamos dividir. Em vez disso, podemos tentar decompor a fração.

Passo 4

Vamos aplicar a substituição. Vamos escolher uma parte do denominador para substituir por uma nova variável. Vamos definir:
u = 3x^2 + x
Agora, precisamos achar a derivada de dudx = 6x + 1 em relação a du = (6x + 1) dx :
Então, rearranjando:

Passo 5

Observando o numerador da nossa integral original, temos 12x + 2 = 2(6x + 1) = 2 cdot dudx . Vamos ver se conseguimos relacionar isso com :
Portanto, podemos reescrever como .

Passo 6

Agora, vamos reescrever a integral em termos de integral 12x + 23x^2 + x , dx = integral 2(6x + 1)u , dx = integral 2 duu :

Passo 7

A integral agora ficou bem mais simples:
integral 2u , du = 2 integral 1u , du
Sabemos que a integral de 2 ln|u| + C em relação a é o logaritmo natural de :

Passo 8

Finalmente, substituímos 2 ln|3x^2 + x| + C de volta pela expressão original em termos de :

Resposta

A integral indefinida é:
2 ln|3x^2 + x| + C

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