Calcule as integrais indefinidas utilizando o método da substituição:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral indefinida:
Conteúdo da matéria: Vamos usar o método da substituição para resolver integrais. Esse método é útil quando a integral parece complicada, mas pode ser simplificada mudando de variável.
O que precisamos: Precisamos identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma nova variável para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração da integral:
Podemos fatorar o denominador:
Então, a fração fica:
Passo 3
Agora, vamos tentar dividir o numerador pelo denominador para simplificar ainda mais. Vamos ver se conseguimos expressar a fração como uma soma de termos mais simples.
Dividindo
por
, percebemos que o grau do numerador é menor que o do denominador, então não precisamos dividir. Em vez disso, podemos tentar decompor a fração.
Passo 4
Vamos aplicar a substituição. Vamos escolher uma parte do denominador para substituir por uma nova variável. Vamos definir:
Agora, precisamos achar a derivada de
em relação a
:
Então, rearranjando:
Passo 5
Observando o numerador da nossa integral original, temos
. Vamos ver se conseguimos relacionar isso com
:
Portanto, podemos reescrever
como
.
Passo 6
Agora, vamos reescrever a integral em termos de
:
Passo 7
A integral agora ficou bem mais simples:
Sabemos que a integral de
em relação a
é o logaritmo natural de
:
Passo 8
Finalmente, substituímos
de volta pela expressão original em termos de
:
Resposta
A integral indefinida é: