Calcule as integrais indefinidas utilizando o método da substituição: integral 2(t-9)^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral indefinida usando o método da substituição. Estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente com a técnica de substituição para facilitar a integração. Vamos precisar reconhecer qual parte da função pode ser substituída por uma nova variável para simplificar o processo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função dentro da integral: 2(t-9)^2. Notamos que (t - 9) está ao quadrado no denominador. Isso pode ser uma boa candidata para substituição.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável u para simplificar a expressão. Definimos:
u = t - 9
Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a t para substituir o diferencial dt. Calculando:
dudt = 1 Rightarrow du = dt

Passo 4

Com essa substituição, vamos reescrever a integral original em termos de u. Substituindo u e du, temos:
integral 2(t-9)^2 , dt = integral 2u^2 , du

Passo 5

Agora, a integral ficou mais simples: integral 2u^2 , du. Podemos reescrever 2u^2 como 2u^-2 para facilitar a integração. Então:
integral 2u^-2 , du
Lembrando que a integral de u^n é u^n+1n+1 + C, onde C é a constante de integração.

Passo 6

Aplicando essa regra:
integral 2u^-2 , du = 2 cdot u^-1-1 + C = -2u^-1 + C = -2u + C

Passo 7

Por último, vamos substituir u de volta para a expressão original em termos de t. Sabemos que u = t - 9, então:
-2u + C = -2t - 9 + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral 2(t-9)^2 , dt = -2t - 9 + C

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