Calcule as integrais indefinidas utilizando o método da substituição:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral indefinida usando o método da substituição. Estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente com a técnica de substituição para facilitar a integração. Vamos precisar reconhecer qual parte da função pode ser substituída por uma nova variável para simplificar o processo.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função dentro da integral:
. Notamos que
está ao quadrado no denominador. Isso pode ser uma boa candidata para substituição.
Passo 3
Vamos definir uma nova variável
para simplificar a expressão. Definimos:
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir o diferencial
. Calculando:
Passo 4
Com essa substituição, vamos reescrever a integral original em termos de
. Substituindo
e
, temos:
Passo 5
Agora, a integral ficou mais simples:
. Podemos reescrever
como
para facilitar a integração. Então:
Lembrando que a integral de
é
, onde
é a constante de integração.
Passo 6
Aplicando essa regra:
Passo 7
Por último, vamos substituir
de volta para a expressão original em termos de
. Sabemos que
, então:
Resposta
A integral indefinida é: