Calcule as integrais indefinidas utilizando o método da substituição: integral raiz1+x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida: . Esse exercício é de cálculo integral, especificamente usando o método da substituição. Vamos precisar entender como fazer uma troca de variável para facilitar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz. Vamos deixar . Isso significa que estamos substituindo a expressão dentro da raiz por uma nova variável, .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de du = dx em relação a para encontrar . Derivando em relação a , temos:
Isso nos mostra que é igual a , o que simplifica a substituição na integral.

Passo 4

Substituímos integral raiz1+x , dx = integral raizu , du por e por na integral original:
Agora, a integral ficou mais simples: .

Passo 5

Vamos resolver a integral integral u^1/2 , du . Sabemos que , então a integral fica:
A regra para integrar é , onde é a constante de integraç��o.

Passo 6

Aplicando a regra de integração:
integral u^1/2 , du = u^3/23/2 + C = 23 u^3/2 + C
Simplificamos a fração multiplicando pelo inverso.

Passo 7

Agora, vamos voltar à variável original substituindo 23 u^3/2 + C = 23 (1 + x)^3/2 + C :

Resposta

A integral indefinida é:
integral raiz1+x , dx = 23 (1 + x)^3/2 + C

Exercícios relacionados