Calcule as integrais indefinidas utilizando o método da substituição: integral(x^2+10)^5 2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida usando o método da substituição. A questão é calcular a integral de . Para isso, vamos precisar entender como fazer a substituição adequada para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir por uma variável única, geralmente chamada de . Observando a integral , vemos que está dentro de uma potência elevada, e sua derivada também aparece multiplicando. Isso é um sinal de que a substituição vai funcionar bem aqui.

Passo 3

Vamos definir u = x^2 + 10 como a parte que está dentro da potência:
du = dudx , dx = 2x , dx
Agora, precisamos encontrar , que é a derivada de em relação a :
Perceba que temos na nossa integral original, que é exatamente .

Passo 4

Com a substituição feita, podemos reescrever a integral em termos de integral(x^2+10)^5 cdot 2x , dx = integral u^5 , du :
integral u^5 , du = u^66 + C
Agora, essa é uma integral mais simples de resolver. A integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Por último, substituímos u^66 + C = (x^2 + 10)^66 + C de volta pela expressão original em termos de :

Resposta

integral(x^2+10)^5 cdot 2x , dx = (x^2 + 10)^66 + C

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