Calcule as integrais indefinidas utilizando as substituições dadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral indefinida usando a substituição
. Isso envolve técnicas de substituição, que é uma forma de simplificar integrais complicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a substituição que vamos usar:
. A ideia aqui é transformar a integral original em termos de
, o que geralmente simplifica o cálculo.
Passo 3
Precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Vamos calcular:
Isso significa que:
Passo 4
Agora, queremos expressar
em termos de
. Rearranjando a equação anterior:
Passo 5
Substituímos agora na integral original:
Passo 6
Agora precisamos calcular . Para isso, usamos uma identidade trigonométrica que ajuda a simplificar integrais de funções quadráticas de seno ou cosseno:
Passo 7
Substituindo a identidade na integral:
Passo 8
Integramos os termos separados:
Então,
Passo 9
Por fim, substituímos
de volta para termos de
:
Resposta
A integral indefinida é:
Onde
é a constante de integração.