Calcule as integrais indefinidas utilizando as substituições dadas. integral raizx cdot sen^2(x^3 / 2-1) d x, u=x^3 / 2-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral indefinida usando a substituição . Isso envolve técnicas de substituição, que é uma forma de simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a substituição que vamos usar: . A ideia aqui é transformar a integral original em termos de , o que geralmente simplifica o cálculo.

Passo 3

Precisamos encontrar a derivada de u = x^3/2 - 1 dudx = 32 x^1/2 em relação a du = 32 raizx , dx , ou seja, . Vamos calcular:
Isso significa que:

Passo 4

Agora, queremos expressar raizx , dx = 23 du em termos de . Rearranjando a equação anterior:

Passo 5

Substituímos agora na integral original:

Passo 6

Agora precisamos calcular . Para isso, usamos uma identidade trigonométrica que ajuda a simplificar integrais de funções quadráticas de seno ou cosseno:

Passo 7

Substituindo a identidade na integral:

Passo 8

Integramos os termos separados:
Então,

Passo 9

Por fim, substituímos u = x^3/2 - 1 sen(2u) = sen(2(x^3/2 - 1)) de volta para termos de :

Resposta

A integral indefinida é:
Onde 13( x^3/2 - 1 - 12 sen(2(x^3/2 - 1)) ) + C é a constante de integração.

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