Determine a primitiva de cada função. Verifique suas respostas derivando. f(x) = sec(pi x / 2) tg(pi x / 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a primitiva da função . Isso significa que precisamos achar uma função cuja derivada seja igual a . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente de derivadas e integrais de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a função . Sabemos que a derivada da função em relação a é . Ou seja:
Nesse caso, nossa função se parece exatamente com , onde . Então, para encontrar a primitiva, precisamos integrar .

Passo 3

Vamos aplicar a regra da substituição para integração. Se , então:
Agora, reescrevemos a integral:
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, vamos verificar nossa resposta derivando :
A derivada de realmente resulta em , então nossa primitiva está correta.

Resposta

A primitiva de é:
onde é a constante de integração.

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