Considere f(x, y) = e^(x y), x(r, θ) = r cos(θ) e y(r, theta) = r * sen(theta). Defina F(x, y) = f(x(r, theta), y(r, theta)) e determine suas derivadas parciais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as derivadas parciais de uma função que é definida a partir de outra função , onde e estão em coordenadas polares:
Então, a gente vai precisar usar conceitos de derivadas parciais e a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a função em termos de e . Como é definida por , substituímos e na expressão de :
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
Derivada parcial em relação a :
Usamos a Regra da Cadeia. A derivada de em relação a é , e depois multiplicamos pela derivada de em relação a :
Calculando a derivada interna:
Então:
Derivada parcial em relação a :
De novo, aplicamos a Regra da Cadeia:
Calculando a derivada interna usando a regra do produto:
Portanto:

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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