Considere
e
. Defina
e determine suas derivadas parciais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as derivadas parciais de uma função
que é definida a partir de outra função
, onde
e
estão em coordenadas polares:
Então, a gente vai precisar usar conceitos de derivadas parciais e a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a função
em termos de
e
. Como
é definida por
, substituímos
e
na expressão de
:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Derivada parcial em relação a
:
Usamos a Regra da Cadeia. A derivada de
em relação a
é
, e depois multiplicamos pela derivada de
em relação a
:
Calculando a derivada interna:
Então:
Derivada parcial em relação a
:
De novo, aplicamos a Regra da Cadeia:
Calculando a derivada interna usando a regra do produto:
Portanto:
Resposta
As derivadas parciais da função
são: