Sabendo que
, determine
, através da diferenciação implícita.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a derivada de
em relação a
, ou seja,
, usando a diferenciação implícita. O enunciado nos dá a equação:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de diferenciação implícita, que é útil quando
está misturado com
na equação, e a gente precisa encontrar como
muda em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, quando temos uma função composta, como o
aqui, precisamos usar a regra da cadeia para derivar. A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta
é
.
Passo 3
Vamos começar diferenciando o lado esquerdo da equação:
Usando a regra da cadeia, a derivada de
é
, onde
. Então:
Passo 4
Agora, precisamos derivar
. Aqui, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
, onde
e
:
Passo 5
Então, a derivada do lado esquerdo fica:
Passo 6
Agora, vamos derivar o lado direito da equação:
Isso também é uma soma, então derivamos cada termo separadamente:
Passo 7
Agora, juntando tudo, temos:
Passo 8
Nosso objetivo é isolar
. Vamos multiplicar ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 9
Expandindo o lado direito:
Passo 10
Vamos reorganizar os termos para coletar
:
Passo 11
Fatorando
do lado esquerdo:
Passo 12
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A derivada
é: