Sabendo que y = y(x), determine d/y d/x, através da diferenciação implícita.
arctan(x^2 * y) = x + x * y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a derivada de em relação a , ou seja, , usando a diferenciação implícita. O enunciado nos dá a equação:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de diferenciação implícita, que é útil quando está misturado com na equação, e a gente precisa encontrar como muda em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, quando temos uma função composta, como o aqui, precisamos usar a regra da cadeia para derivar. A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta é .

Passo 3

Vamos começar diferenciando o lado esquerdo da equação:
Usando a regra da cadeia, a derivada de é , onde . Então:

Passo 4

Agora, precisamos derivar . Aqui, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é , onde e :

Passo 5

Então, a derivada do lado esquerdo fica:

Passo 6

Agora, vamos derivar o lado direito da equação:
Isso também é uma soma, então derivamos cada termo separadamente:

Passo 7

Agora, juntando tudo, temos:

Passo 8

Nosso objetivo é isolar . Vamos multiplicar ambos os lados por para eliminar o denominador:

Passo 9

Expandindo o lado direito:

Passo 10

Vamos reorganizar os termos para coletar :

Passo 11

Fatorando do lado esquerdo:

Passo 12

Finalmente, isolamos :

Resposta

A derivada é:

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