Seja , onde é uma função de classe .
Verifique que .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma função , onde é uma função diferenciável. Nosso objetivo é encontrar a derivada de em relação a no ponto . Para isso, vamos usar o regra da cadeia e entender como as derivadas parciais funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que dependem de . Aqui, temos duas funções internas:
Essas são as funções que serão “encapsuladas” dentro da função .
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que são derivadas parciais. A derivada parcial de em relação a , denotada por , mostra como muda quando muda, mantendo constante. Similarmente, mostra como muda quando muda, mantendo constante.
Passo 4
Para encontrar dzdx = partial fpartial u cdot dudx + partial fpartial v cdot dvdx , usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A fórmula geral é:
Isso significa que a taxa de variação de em relação a é a soma das taxas de variação de em relação a cada variável interna, multiplicadas pela derivada dessas variáveis internas em relação a .
Passo 5
Vamos calcular cada derivada separadamente:
Derivada de dudx = ddx(x^2) = 2x em relação a dvdx = ddx(3x + 1) = 3 :
Derivada de em relação a :
Passo 6
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da regra da cadeia:
dzdx = partial fpartial u cdot 2x + partial fpartial v cdot 3
Passo 7
Como queremos avaliar a derivada no ponto dzdx|x=1 = partial fpartial u(1, 4) cdot 2(1) + partial fpartial v(1, 4) cdot 3 , vamos substituir por 1: