Seja z=f(x^2, 3 x+1), onde f(u, v) é uma função de classe C^1 em R^2.
Verifique que d zd x|x=1=2 partial fpartial u(1,4)+3 partial fpartial v(1,4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma função , onde é uma função diferenciável. Nosso objetivo é encontrar a derivada de em relação a no ponto . Para isso, vamos usar o regra da cadeia e entender como as derivadas parciais funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que dependem de . Aqui, temos duas funções internas:
Essas são as funções que serão “encapsuladas” dentro da função .

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que são derivadas parciais. A derivada parcial de em relação a , denotada por , mostra como muda quando muda, mantendo constante. Similarmente, mostra como muda quando muda, mantendo constante.

Passo 4

Para encontrar dzdx = partial fpartial u cdot dudx + partial fpartial v cdot dvdx , usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A fórmula geral é:
Isso significa que a taxa de variação de em relação a é a soma das taxas de variação de em relação a cada variável interna, multiplicadas pela derivada dessas variáveis internas em relação a .

Passo 5

Vamos calcular cada derivada separadamente:
  1. Derivada de dudx = ddx(x^2) = 2x em relação a dvdx = ddx(3x + 1) = 3 :
  1. Derivada de em relação a :

Passo 6

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da regra da cadeia:
dzdx = partial fpartial u cdot 2x + partial fpartial v cdot 3

Passo 7

Como queremos avaliar a derivada no ponto dzdx|x=1 = partial fpartial u(1, 4) cdot 2(1) + partial fpartial v(1, 4) cdot 3 , vamos substituir por 1:
Aqui, calculamos que quando :

Resposta

dzdx|x=1 = 2 partial fpartial u(1, 4) + 3 partial fpartial v(1, 4)

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