Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(b) integral x-2(x+1)(x+3)(x+5) d x

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida integral x-2(x+1)(x+3)(x+5) , dx. Para isso, vamos usar a técnica de frações parciais, que nos permite decompor uma fração racional em soma de frações mais simples. Precisaremos identificar constantes que facilitam a integração.

Passo 2

Primeiro, assumimos que podemos escrever a fração x-2(x+1)(x+3)(x+5) como uma soma de três frações parciais:
x-2(x+1)(x+3)(x+5) = Ax+1 + Bx+3 + Cx+5
onde A, B e C são constantes que vamos determinar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da igualdade pelo denominador comum (x+1)(x+3)(x+5) para eliminar as frações:
x - 2 = A(x+3)(x+5) + B(x+1)(x+5) + C(x+1)(x+3)

Passo 4

Agora, expandimos e simplificamos o lado direito da equação:
x - 2 &= A(x^2 + 8x + 15) + B(x^2 + 6x + 5) + C(x^2 + 4x + 3) &= (A + B + C)x^2 + (8A + 6B + 4C)x + (15A + 5B + 3C)

Passo 5

Igualamos os coeficientes dos termos de mesmo grau dos dois lados da equação:
A + B + C = 0 8A + 6B + 4C = 1 15A + 5B + 3C = -2

Passo 6

Resolvemos o sistema de equações:
A + B + C &= 0 (1) 8A + 6B + 4C &= 1 (2) 15A + 5B + 3C &= -2 (3)
Subtraindo a equação (1) multiplicada por 8 da equação (2):
(8A + 6B + 4C) - 8(A + B + C) = 1 - 0 Rightarrow -2B -4C = 1
Simplificando:
-2B -4C = 1 Rightarrow B + 2C = -12 (4)
Subtraindo a equação (1) multiplicada por 15 da equação (3):
(15A + 5B + 3C) - 15(A + B + C) = -2 - 0 Rightarrow -10B -12C = -2
Simplificando:
-10B -12C = -2 Rightarrow 5B + 6C = 1 (5)

Passo 7

Resolvemos o sistema formado pelas equações (4) e (5):
B + 2C = -12 5B + 6C = 1
Multiplicamos a equação (4) por 5:
5B + 10C = -52
Subtraímos da equação (5):
(5B + 6C) - (5B + 10C) = 1 - (-52) Rightarrow -4C = 72 Rightarrow C = -78
Substituindo C na equação (4):
B + 2(-78) = -12 Rightarrow B - 74 = -12 Rightarrow B = 54
Finalmente, substituímos B e C na equação (1):
A + 54 - 78 = 0 Rightarrow A = -54 + 78 = -38

Passo 8

Agora que temos A = -38, B = 54 e C = -78, substituímos de volta nas frações parciais:
x-2(x+1)(x+3)(x+5) = -38x+1 + 54x+3 + -78x+5
Simplificando:
x-2(x+1)(x+3)(x+5) = -38(x+1) + 54(x+3) - 78(x+5)

Passo 9

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral x-2(x+1)(x+3)(x+5) , dx &= -38 integral 1x+1 , dx + 54 integral 1x+3 , dx - 78 integral 1x+5 , dx &= -38 ln|x+1| + 54 ln|x+3| - 78 ln|x+5| + C
onde C é a constante de integração.

Resposta

integral x-2(x+1)(x+3)(x+5) , dx = -38 ln|x+1| + 54 ln|x+3| - 78 ln|x+5| + C

Exercícios relacionados