Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(b)
Passo 1
Vamos calcular a integral indefinida . Para isso, vamos usar a técnica de frações parciais, que nos permite decompor uma fração racional em soma de frações mais simples. Precisaremos identificar constantes que facilitam a integração.
Passo 2
Primeiro, assumimos que podemos escrever a fração como uma soma de três frações parciais:
onde , e são constantes que vamos determinar.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da igualdade pelo denominador comum para eliminar as frações:
Passo 4
Agora, expandimos e simplificamos o lado direito da equação:
Passo 5
Igualamos os coeficientes dos termos de mesmo grau dos dois lados da equação:
Passo 6
Resolvemos o sistema de equações:
Subtraindo a equação (1) multiplicada por 8 da equação (2):
Simplificando:
Subtraindo a equação (1) multiplicada por 15 da equação (3):
Simplificando:
Passo 7
Resolvemos o sistema formado pelas equações (4) e (5):
Multiplicamos a equação (4) por 5:
Subtraímos da equação (5):
Substituindo na equação (4):
Finalmente, substituímos e na equação (1):
Passo 8
Agora que temos , e , substituímos de volta nas frações parciais:
Simplificando:
Passo 9
Agora, integramos cada termo separadamente:
onde é a constante de integração.