Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(b)

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida . Para isso, vamos usar a técnica de frações parciais, que nos permite decompor uma fração racional em soma de frações mais simples. Precisaremos identificar constantes que facilitam a integração.

Passo 2

Primeiro, assumimos que podemos escrever a fração como uma soma de três frações parciais:
onde , e são constantes que vamos determinar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da igualdade pelo denominador comum para eliminar as frações:

Passo 4

Agora, expandimos e simplificamos o lado direito da equação:

Passo 5

Igualamos os coeficientes dos termos de mesmo grau dos dois lados da equação:

Passo 6

Resolvemos o sistema de equações:

Subtraindo a equação (1) multiplicada por 8 da equação (2):
Simplificando:
Subtraindo a equação (1) multiplicada por 15 da equação (3):
Simplificando:

Passo 7

Resolvemos o sistema formado pelas equações (4) e (5):

Multiplicamos a equação (4) por 5:
Subtraímos da equação (5):
Substituindo na equação (4):
Finalmente, substituímos e na equação (1):

Passo 8

Agora que temos , e , substituímos de volta nas frações parciais:
Simplificando:

Passo 9

Agora, integramos cada termo separadamente:

onde é a constante de integração.

Resposta

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©
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