Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(b)
Passo 1
Vamos calcular a integral indefinida . Para isso, vamos usar a técnica de frações parciais, que nos permite decompor uma fração racional em soma de frações mais simples. Precisaremos identificar constantes que facilitam a integração.
Passo 2
Primeiro, assumimos que podemos escrever a fração como uma soma de três frações parciais:
onde , e são constantes que vamos determinar.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da igualdade pelo denominador comum para eliminar as frações:
Passo 4
Agora, expandimos e simplificamos o lado direito da equação:
Passo 5
Igualamos os coeficientes dos termos de mesmo grau dos dois lados da equação:
Passo 6
Resolvemos o sistema de equações: A + B + C &= 0 (1) 8A + 6B + 4C &= 1 (2) 15A + 5B + 3C &= -2 (3)
Subtraindo a equação (1) multiplicada por 8 da equação (2):
(8A + 6B + 4C) - 8(A + B + C) = 1 - 0 Rightarrow -2B -4C = 1
Simplificando:
-2B -4C = 1 Rightarrow B + 2C = -12 (4)
Subtraindo a equação (1) multiplicada por 15 da equação (3):
(15A + 5B + 3C) - 15(A + B + C) = -2 - 0 Rightarrow -10B -12C = -2
Simplificando:
-10B -12C = -2 Rightarrow 5B + 6C = 1 (5)
Passo 7
Resolvemos o sistema formado pelas equações (4) e (5): B + 2C = -12 5B + 6C = 1
Multiplicamos a equação (4) por 5:
B + 2(-78) = -12 Rightarrow B - 74 = -12 Rightarrow B = 54
Finalmente, substituímos B e C na equação (1):
A + 54 - 78 = 0 Rightarrow A = -54 + 78 = -38
Passo 8
Agora que temos A = -38, B = 54 e C = -78, substituímos de volta nas frações parciais:
x-2(x+1)(x+3)(x+5) = -38x+1 + 54x+3 + -78x+5
Simplificando:
x-2(x+1)(x+3)(x+5) = -38(x+1) + 54(x+3) - 78(x+5)
Passo 9
Agora, integramos cada termo separadamente: integral x-2(x+1)(x+3)(x+5) , dx &= -38 integral 1x+1 , dx + 54 integral 1x+3 , dx - 78 integral 1x+5 , dx &= -38 ln|x+1| + 54 ln|x+3| - 78 ln|x+5| + C
onde C é a constante de integração.
Resposta
integral x-2(x+1)(x+3)(x+5) , dx = -38 ln|x+1| + 54 ln|x+3| - 78 ln|x+5| + C