Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
© integral x^2(x+1)(x+3)(x+5) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral indefinida de x^2(x+1)(x+3)(x+5) usando a técnica de frações parciais. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente quando lidamos com integrais racionais. Para resolver, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples que a gente já sabe integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a decomposição em frações parciais. A ideia aqui é expressar x^2(x+1)(x+3)(x+5) como uma soma de frações menores, com denominadores que são os fatores do denominador original. Então, vamos escrever:
x^2(x+1)(x+3)(x+5) = Ax+1 + Bx+3 + Cx+5
Aqui, A, B e C são constantes que a gente precisa encontrar.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de A, B e C. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelos denominadores comuns (x+1)(x+3)(x+5) para eliminar as frações:
x^2 = A(x+3)(x+5) + B(x+1)(x+5) + C(x+1)(x+3)
Vamos expandir cada termo:
A(x^2 + 8x + 15) + B(x^2 + 6x + 5) + C(x^2 + 4x + 3) = x^2
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
(A + B + C)x^2 + (8A + 6B + 4C)x + (15A + 5B + 3C) = x^2
Comparando os coeficientes dos termos correspondentes, temos o seguinte sistema de equações:
A + B + C = 1 8A + 6B + 4C = 0 15A + 5B + 3C = 0
Resolvendo esse sistema, a gente encontra:
A = 34, B = -54, C = 24 = 12

Passo 4

Com os valores de A, B e C encontrados, a gente reescreve a integral original:
integral x^2(x+1)(x+3)(x+5) , dx = integral ( 3/4x+1 - 5/4x+3 + 1/2x+5 ) dx
Agora, a gente integra cada termo separadamente:
34 integral 1x+1 , dx - 54 integral 1x+3 , dx + 12 integral 1x+5 , dx
Lembrando que integral 1x+a , dx = ln|x+a| + C, onde C é a constante de integração. Então, temos:
34 ln|x+1| - 54 ln|x+3| + 12 ln|x+5| + C

Resposta

A integral é igual a 34 ln|x+1| - 54 ln|x+3| + 12 ln|x+5| + C, onde C é a constante de integração.

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