Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral indefinida de usando a técnica de frações parciais. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente quando lidamos com integrais racionais. Para resolver, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples que a gente já sabe integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a decomposição em frações parciais. A ideia aqui é expressar como uma soma de frações menores, com denominadores que são os fatores do denominador original. Então, vamos escrever:
Aqui, , e são constantes que a gente precisa encontrar.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de , e . Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelos denominadores comuns para eliminar as frações:
Vamos expandir cada termo:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Comparando os coeficientes dos termos correspondentes, temos o seguinte sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, a gente encontra:
A = 34, B = -54, C = 24 = 12
Passo 4
Com os valores de A, B e C encontrados, a gente reescreve a integral original:
integral x^2(x+1)(x+3)(x+5) , dx = integral ( 3/4x+1 - 5/4x+3 + 1/2x+5 ) dx
Agora, a gente integra cada termo separadamente:
34 integral 1x+1 , dx - 54 integral 1x+3 , dx + 12 integral 1x+5 , dx
Lembrando que integral 1x+a , dx = ln|x+a| + C, onde C é a constante de integração. Então, temos:
34 ln|x+1| - 54 ln|x+3| + 12 ln|x+5| + C
Resposta
A integral é igual a 34 ln|x+1| - 54 ln|x+3| + 12 ln|x+5| + C, onde C é a constante de integração.