Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por partes:
(h) integral 3 x^8 cos (x^3) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida usando a técnica de integração por partes. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integração por partes. Para isso, vamos precisar identificar quais partes da expressão serão e na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Precisamos escolher u = x^6 e dv = 3x^2 cos(x^3) , dx e de forma que a integral resultante seja mais fácil de resolver. Observando a nossa integral , vamos escolher:
Essa escolha facilita o cálculo de e .

Passo 3

Agora, vamos calcular du = 6x^5 , dx e v = integral 3x^2 cos(x^3) , dx :
v = integral cos(t) , dt = sin(t) + C = sin(x^3) + C
Para encontrar , precisamos integrar :
Fazendo uma substituição simples, deixe , então . Portanto:
Desconsideramos a constante de integração neste passo, já que ela será incorporada na resposta final.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral 3x^8 cos(x^3) , dx = x^6 cdot sin(x^3) - integral sin(x^3) cdot 6x^5 , dx
Agora, precisamos resolver a nova integral .

Passo 5

Para resolver u = x^3 e dv = 6x^2 sin(x^3) , dx , vamos fazer outra integração por partes. Escolha:
du = 3x^2 , dx
Calculando v = integral 6x^2 sin(x^3) , dx e v = integral 2 sin(t) , dt = -2 cos(t) + C = -2 cos(x^3) + C :
integral 6x^5 sin(x^3) , dx = x^3 cdot (-2 cos(x^3)) - integral (-2 cos(x^3)) cdot 3x^2 , dx
-2x^3 cos(x^3) + 6 integral x^2 cos(x^3) , dx
Fazendo integral x^2 cos(x^3) , dx = 13 sin(x^3) + C , -2x^3 cos(x^3) + 6 cdot 13 sin(x^3) = -2x^3 cos(x^3) + 2 sin(x^3) , então:
Aplicando novamente a fórmula de integração por partes:
Simplificando:
A última integral é similar à que calculamos anteriormente para :
Portanto:

Resposta

Juntando tudo, a integral original é:
integral 3x^8 cos(x^3) , dx = 13 x^6 sin(x^3) + 23 x^3 cos(x^3) - 23 sin(x^3) + C
onde é a constante de integração.

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