Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(g)
(g)
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a integral indefinida
usando a técnica de frações parciais. Nosso objetivo é decompor a fração algebraica em termos mais simples que a gente sabe integrar direitinho. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e então aplicar a decomposição em frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Procuramos encontrar raízes dessa equação para fatorar o polinômio.
Testando
:
Então,
é uma raiz, e podemos fatorar
.
Dividindo
por
:
Agora, fatoramos
:
Então, a fatoração completa do denominador é:
Passo 3
Agora que temos o denominador fatorado, vamos escrever a fração
como uma soma de frações parciais. Assumimos que:
Multiplicamos ambos os lados pela parte de baixo comum
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Para encontrar os valores de
,
e
, substituímos valores estratégicos de
:
-
Quando
: -
Quando
: -
Para encontrar
, podemos expandir a equação geral e comparar os coeficientes: Igualando os coeficientes:- Para
:
- Para
Passo 5
Agora que temos
,
e
, substituímos de volta na decomposição:
Passo 6
Agora, integramos cada termo separadamente:
Resposta
Juntando tudo, a integral é:
Onde
é a constante de integração.
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