Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(g)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral indefinida usando a técnica de frações parciais. Nosso objetivo é decompor a fração algebraica em termos mais simples que a gente sabe integrar direitinho. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e então aplicar a decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Procuramos encontrar raízes dessa equação para fatorar o polinômio.
Testando :
Então, é uma raiz, e podemos fatorar .
Dividindo por :
Agora, fatoramos :
Então, a fatoração completa do denominador é:

Passo 3

Agora que temos o denominador fatorado, vamos escrever a fração como uma soma de frações parciais. Assumimos que:
Multiplicamos ambos os lados pela parte de baixo comum para eliminar os denominadores:

Passo 4

Para encontrar os valores de , e , substituímos valores estratégicos de :
  1. Quando :
  2. Quando :
  3. Para encontrar , podemos expandir a equação geral e comparar os coeficientes:
    Igualando os coeficientes:
    • Para :

Passo 5

Agora que temos , e , substituímos de volta na decomposição:

Passo 6

Agora, integramos cada termo separadamente:

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
Onde é a constante de integração.

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