Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(g) integral x+1x^3-4 x^2+5 x-2 d x

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral indefinida usando a técnica de frações parciais. Nosso objetivo é decompor a fração algebraica em termos mais simples que a gente sabe integrar direitinho. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e então aplicar a decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador 1^3 - 4(1)^2 + 5(1) - 2 = 1 - 4 + 5 - 2 = 0 . Procuramos encontrar raízes dessa equação para fatorar o polinômio.
Testando x^3-4 x^2+5 x-2 = (x - 1)(x^2 - 3x + 2) :
x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)
Então, x^3-4 x^2+5 x-2 = (x - 1)^2(x - 2) é uma raiz, e podemos fatorar .
Dividindo por :
Agora, fatoramos :
Então, a fatoração completa do denominador é:

Passo 3

Agora que temos o denominador fatorado, vamos escrever a fração x+1(x - 1)^2(x - 2) = Ax - 1 + B(x - 1)^2 + Cx - 2 como uma soma de frações parciais. Assumimos que:
x + 1 = A(x - 1)(x - 2) + B(x - 2) + C(x - 1)^2
Multiplicamos ambos os lados pela parte de baixo comum para eliminar os denominadores:

Passo 4

Para encontrar os valores de 1 + 1 = A(0)(-1) + B(-1) + C(0) Rightarrow 2 = -B Rightarrow B = -2 , 2 + 1 = A(1)(0) + B(0) + C(1) Rightarrow 3 = C Rightarrow C = 3 e x + 1 = A(x^2 - 3x + 2) - 2(x - 2) + 3(x^2 - 2x + 1) , substituímos valores estratégicos de x + 1 = (A + 3)x^2 + (-3A - 2 - 6)x + (2A + 4 + 3) :
  1. Quando :
  2. Quando :
  3. Para encontrar , podemos expandir a equação geral e comparar os coeficientes:
    Igualando os coeficientes:
    • Para :

Passo 5

Agora que temos x+1(x - 1)^2(x - 2) = -3x - 1 + -2(x - 1)^2 + 3x - 2 , e , substituímos de volta na decomposição:

Passo 6

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral -3x - 1 , dx = -3 ln|x - 1|
integral -2(x - 1)^2 , dx = 2x - 1
integral 3x - 2 , dx = 3 ln|x - 2|

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
integral x+1x^3-4 x^2+5 x-2 , dx = 3 ln|x - 2| - 3 ln|x - 1| + 2x - 1 + C
Onde é a constante de integração.

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