Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por partes:
(n) integral sen x ln (cos x) d x

Passo 1

Beleza! A gente vai calcular a integral indefinida usando a técnica de integração por partes. Para isso, vamos precisar entender como separar a integral em duas partes: uma que vamos derivar ( ) e outra que vamos integrar ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos escolher qual parte da integral vai ser u = ln(cos x) e qual vai ser dv = sin x , dx . Aqui, faz sentido escolher porque derivar o logaritmo de cosseno vai simplificar a expressão. Então, temos:
E o que sobra fica como :

Passo 3

Agora, vamos calcular du = ddx ln(cos x) = -sin xcos x , dx = -tan x , dx e v = integral sin x , dx = -cos x . Para , derivamos :
Para encontrar , integramos :

Passo 4

Com integral u , dv = uv - integral v , du , integral sin x ln(cos x) , dx = -cos x ln(cos x) - integral (-cos x)(- tan x) , dx , e definidos, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos simplificar a integral que surgiu:
-integral (-cos x)(- tan x) , dx = -integral cos x cdot sin xcos x , dx = -integral sin x , dx
Essa integral é mais fácil de resolver.

Passo 6

Calculamos a integral simplificada:
-integral sin x , dx = cos x
Agora, juntamos tudo:
-cos x ln(cos x) + cos x + C
Podemos fatorar cos x (1 - ln(cos x)) + C para deixar mais bonito:

Resposta

cos x (1 - ln(cos x)) + C

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