Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por partes:
(n)
(n)
Passo 1
Beleza! A gente vai calcular a integral indefinida
usando a técnica de integração por partes. Para isso, vamos precisar entender como separar a integral em duas partes: uma que vamos derivar (
) e outra que vamos integrar (
).
Passo 2
Primeiro, vamos escolher qual parte da integral vai ser
e qual vai ser
. Aqui, faz sentido escolher
porque derivar o logaritmo de cosseno vai simplificar a expressão. Então, temos:
E o que sobra fica como
:
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
. Para
, derivamos
:
Para encontrar
, integramos
:
Passo 4
Com
,
,
e
definidos, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos simplificar a integral que surgiu:
Essa integral é mais fácil de resolver.
Passo 6
Calculamos a integral simplificada:
Agora, juntamos tudo:
Podemos fatorar
para deixar mais bonito: