Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(i)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral indefinida de usando a técnica de frações parciais. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente da integração racional. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais simples que a gente consiga integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador . É sempre bom tentar fatorar para simplificar a expressão. Podemos colocar um em evidência:
Agora, olhamos para o polinômio quadrático . Perceba que ele pode ser fatorado como um quadrado perfeito:
Então, o denominador fatorado fica:

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, podemos escrever a fração como uma soma de frações parciais. A forma geral para isso, considerando os fatores lineares e quadráticos, é:
Aqui, , e são constantes que precisamos determinar.

Passo 4

Vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:
Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 5

Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos o seguinte sistema de equações:
  1. (coeficiente de )
  2. (coeficiente de )
  3. (termo constante)
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 6

Primeiro, da terceira equação:
Agora, substituímos na primeira equação:
Por fim, substituímos e na segunda equação:
Então, temos:

Passo 7

Agora que encontramos os valores de , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:
As integrais ficam:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral indefinida é:

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