Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(i) integral x-8x^3-4 x^2+4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral indefinida de usando a técnica de frações parciais. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente da integração racional. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais simples que a gente consiga integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador x^3-4x^2+4x = x(x^2-4x+4) . É sempre bom tentar fatorar para simplificar a expressão. Podemos colocar um x^2-4x+4 = (x-2)^2 em evidência:
x^3-4x^2+4x = x(x-2)^2
Agora, olhamos para o polinômio quadrático . Perceba que ele pode ser fatorado como um quadrado perfeito:
Então, o denominador fatorado fica:

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, podemos escrever a fração x-8x(x-2)^2 = Ax + Bx-2 + C(x-2)^2 como uma soma de frações parciais. A forma geral para isso, considerando os fatores lineares e quadráticos, é:
Aqui, , e são constantes que precisamos determinar.

Passo 4

Vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum x - 8 = A(x-2)^2 + Bx(x-2) + Cx para eliminar as frações:
x - 8 = A(x^2 -4x +4) + Bx(x-2) + Cx
Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito:
x - 8 = A x^2 -4A x +4A + B x^2 -2B x + Cx
x - 8 = (A + B)x^2 + (-4A -2B + C)x + 4A
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 5

Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos o seguinte sistema de equações:
  1. (coeficiente de )
  2. (coeficiente de )
  3. (termo constante)
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 6

Primeiro, da terceira equação:
4A = -8 implies A = -2
Agora, substituímos -2 + B = 0 implies B = 2 na primeira equação:
-4(-2) -2(2) + C = 1 implies 8 -4 + C = 1 implies C = -3
Por fim, substituímos A = -2, B = 2, C = -3 e na segunda equação:
Então, temos:

Passo 7

Agora que encontramos os valores de x-8x(x-2)^2 = -2x + 2x-2 + -3(x-2)^2 , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral -2x , dx + integral 2x-2 , dx + integral -3(x-2)^2 , dx
As integrais ficam:
-2 ln|x| + 2 ln|x-2| + 3x-2 + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral indefinida é:
-2 ln|x| + 2 ln|x-2| + 3x-2 + C

Exercícios relacionados