Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(i)
(i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral indefinida de
usando a técnica de frações parciais. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente da integração racional. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais simples que a gente consiga integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o denominador
. É sempre bom tentar fatorar para simplificar a expressão. Podemos colocar um
em evidência:
Agora, olhamos para o polinômio quadrático
. Perceba que ele pode ser fatorado como um quadrado perfeito:
Então, o denominador fatorado fica:
Passo 3
Agora que fatoramos o denominador, podemos escrever a fração
como uma soma de frações parciais. A forma geral para isso, considerando os fatores lineares e quadráticos, é:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 4
Vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos o seguinte sistema de equações:
-
(coeficiente de ) -
(coeficiente de ) -
(termo constante)
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Passo 6
Primeiro, da terceira equação:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Por fim, substituímos
e
na segunda equação:
Então, temos:
Passo 7
Agora que encontramos os valores de
,
e
, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Passo 8
Vamos integrar cada termo separadamente:
As integrais ficam:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral indefinida é:
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(g)
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©
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(m)
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(o)
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