Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida usando a técnica de frações parciais. Isso faz parte da matéria de cálculo integral, especificamente sobre integração de funções racionais. Para isso, vamos decompôr a fração dada em termos mais simples que a gente consiga integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a fração pode ser escrita como uma soma de frações simples:
onde , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados da equação pelo denominador para eliminar as frações, temos:

Passo 4

Vamos expandir cada termo do lado direito:
Somando tudo:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos simplificar um pouco:
Primeira equação:
Segunda equação:
Terceira equação:
Vamos multiplicar a equação (1) por 4 e subtrair da equação (2):
Agora, multiplique a equação (1) por 3 e subtraia da equação (3):

Passo 7

Agora temos o sistema:
Subtraindo a equação (4) da equação (5):

Passo 8

Com , voltamos para a equação (4):
Agora, usando a equação (1):

Passo 9

Então, os valores encontrados são:
Substituindo de volta na decomposição original:

Passo 10

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
Sabemos que , onde é a constante de integração.

Passo 11

Aplicando a integral:

Resposta

A integral é igual a .

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