Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral indefinida usando a técnica de frações parciais. Isso faz parte da matéria de cálculo integral, especificamente sobre integração de funções racionais. Para isso, vamos decompôr a fração dada em termos mais simples que a gente consiga integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a fração pode ser escrita como uma soma de frações simples:
onde , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados da equação pelo denominador para eliminar as frações, temos:
Passo 4
Vamos expandir cada termo do lado direito:
Somando tudo:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos simplificar um pouco:
Primeira equação:
A + B + C = 1 (1)
Segunda equação:
8A + 6B + 4C = 0 (2)
Terceira equação:
15A + 5B + 3C = -1 (3)
Vamos multiplicar a equação (1) por 4 e subtrair da equação (2):