Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(d) integral x^2-1(x+1)(x+3)(x+5) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida usando a técnica de frações parciais. Isso faz parte da matéria de cálculo integral, especificamente sobre integração de funções racionais. Para isso, vamos decompôr a fração dada em termos mais simples que a gente consiga integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a fração x^2-1(x+1)(x+3)(x+5) = Ax+1 + Bx+3 + Cx+5 pode ser escrita como uma soma de frações simples:
onde , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados da equação pelo denominador x^2 - 1 = A(x+3)(x+5) + B(x+1)(x+5) + C(x+1)(x+3) para eliminar as frações, temos:

Passo 4

Vamos expandir cada termo do lado direito:
A(x+3)(x+5) = A(x^2 + 8x + 15) B(x+1)(x+5) = B(x^2 + 6x + 5) C(x+1)(x+3) = C(x^2 + 4x + 3)
Somando tudo:
x^2 - 1 = (A + B + C)x^2 + (8A + 6B + 4C)x + (15A + 5B + 3C)

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
A + B + C = 1 (coeficiente de x^2) 8A + 6B + 4C = 0 (coeficiente de x) 15A + 5B + 3C = -1 (termo constante)

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos simplificar um pouco:
Primeira equação:
A + B + C = 1 (1)
Segunda equação:
8A + 6B + 4C = 0 (2)
Terceira equação:
15A + 5B + 3C = -1 (3)
Vamos multiplicar a equação (1) por 4 e subtrair da equação (2):
4A + 4B + 4C = 4 8A + 6B + 4C = 0 Rightarrow (8A + 6B + 4C) - (4A + 4B + 4C) = 0 - 4 4A + 2B = -4 (4)
Agora, multiplique a equação (1) por 3 e subtraia da equação (3):
3A + 3B + 3C = 3 15A + 5B + 3C = -1 Rightarrow (15A + 5B + 3C) - (3A + 3B + 3C) = -1 - 3 12A + 2B = -4 (5)

Passo 7

Agora temos o sistema:
4A + 2B = -4 (4) 12A + 2B = -4 (5)
Subtraindo a equação (4) da equação (5):
(12A + 2B) - (4A + 2B) = -4 - (-4) 8A = 0 A = 0

Passo 8

Com 4(0) + 2B = -4 2B = -4 B = -2 , voltamos para a equação (4):
0 + (-2) + C = 1 C = 3
Agora, usando a equação (1):

Passo 9

Então, os valores encontrados são:
A = 0, B = -2, C = 3
Substituindo de volta na decomposição original:
x^2-1(x+1)(x+3)(x+5) = 0x+1 + -2x+3 + 3x+5 = -2x+3 + 3x+5

Passo 10

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral -2x+3 , dx + integral 3x+5 , dx
Sabemos que , onde é a constante de integração.

Passo 11

Aplicando a integral:
-2 ln|x+3| + 3 ln|x+5| + C

Resposta

A integral é igual a .

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