Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por partes:
(g)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral indefinida de em relação a . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente usando a técnica de integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar entender como escolher as partes da função que vão ser e , aplicar a fórmula de integração por partes e simplificar a expressão até encontrar a resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
Precisamos escolher qual parte da nossa integral será e qual será . Geralmente, escolhemos como a parte que fica mais simples quando derivada.

Passo 3

Vamos escolher:
Agora, precisamos encontrar e .

Passo 4

Calculando :
Sabemos que a derivada de é . Então:
Calculando :
Precisamos integrar . A integral de é . Então:

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Simplificando os termos:
Perceba que a integral que surgiu é a mesma que começamos a resolver, o que nos leva a uma equação.

Passo 7

Vamos chamar a integral original de :
Então, temos:

Passo 8

Agora, somamos dos dois lados:

Passo 9

Dividindo ambos os lados por 2 para isolar :
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral indefinida é:

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(m)
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(d)