Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por partes:
(g) integral cossec^2 x cotg x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral indefinida de cossec^2 x cotg x em relação a x. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente usando a técnica de integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar entender como escolher as partes da função que vão ser u e dv, aplicar a fórmula de integração por partes e simplificar a expressão até encontrar a resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Precisamos escolher qual parte da nossa integral será u e qual será dv. Geralmente, escolhemos u como a parte que fica mais simples quando derivada.

Passo 3

Vamos escolher:
  • u = cotg x
  • dv = cossec^2 x , dx
Agora, precisamos encontrar du e v.

Passo 4

Calculando du:
Sabemos que a derivada de cotg x é - cossec^2 x. Então:
du = -cossec^2 x , dx
Calculando v:
Precisamos integrar dv = cossec^2 x , dx. A integral de cossec^2 x é -cotg x. Então:
v = -cotg x

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral cossec^2 x cotg x , dx = cotg x cdot (-cotg x) - integral (-cotg x) cdot (-cossec^2 x) , dx

Passo 6

Simplificando os termos:
= -cotg^2 x - integral cotg x cdot cossec^2 x , dx
Perceba que a integral que surgiu é a mesma que começamos a resolver, o que nos leva a uma equação.

Passo 7

Vamos chamar a integral original de I:
I = integral cossec^2 x cotg x , dx
Então, temos:
I = -cotg^2 x - I

Passo 8

Agora, somamos I dos dois lados:
I + I = -cotg^2 x
2I = -cotg^2 x

Passo 9

Dividindo ambos os lados por 2 para isolar I:
I = -12 cotg^2 x + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral indefinida é:
integral cossec^2 x cotg x , dx = -12 cotg^2 x + C

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