Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(j) integral x^2-4x^3-4 x^2+4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral indefinida de x^2-4x^3-4 x^2+4 x usando frações parciais. Isso envolve cálculo integral e álgebra para decompormos a fração em partes mais simples que a gente consegue integrar mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3 - 4x^2 + 4x. Colocando x em evidência, temos:
x^3 - 4x^2 + 4x = x(x^2 - 4x + 4)
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático x^2 - 4x + 4. Esse trinômio é um quadrado perfeito:
x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2
Então, o denominador todo fatorado fica:
x(x - 2)^2

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, vamos escrever a fração original como uma soma de frações parciais. A ideia é expressar x^2-4x(x - 2)^2 como:
Ax + Bx - 2 + C(x - 2)^2
Onde A, B e C são constantes que precisamos determinar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum x(x - 2)^2 para eliminar as frações:
x^2 - 4 = A(x - 2)^2 + Bx(x - 2) + Cx
Vamos expandir e simplificar para encontrar os valores de A, B e C.

Passo 5

Escolhemos valores estratégicos para x para facilitar a resolução:
  1. Se x = 0:
0^2 - 4 = A(0 - 2)^2 + B cdot 0 cdot (0 - 2) + C cdot 0 -4 = A(4) A = -1
  1. Se x = 2:
2^2 - 4 = A(2 - 2)^2 + B cdot 2 cdot (2 - 2) + C cdot 2 0 = 0 + 0 + 2C C = 0
  1. Para encontrar B, podemos escolher outro valor, por exemplo, x = 1:
1^2 - 4 = -1(1 - 2)^2 + B cdot 1 cdot (1 - 2) + 0 cdot 1 -3 = -1(1) + B(-1) -3 = -1 - B -2 = -B B = 2

Passo 6

Agora que temos A = -1, B = 2 e C = 0, podemos escrever a fração parcial:
x^2-4x(x - 2)^2 = -1x + 2x - 2

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral -1x , dx + integral 2x - 2 , dx
A integral de 1x é ln|x|, então:
- ln|x| + 2 ln|x - 2| + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral é:
- ln|x| + 2 ln|x - 2| + C

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