Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(j)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral indefinida de usando frações parciais. Isso envolve cálculo integral e álgebra para decompormos a fração em partes mais simples que a gente consegue integrar mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Colocando em evidência, temos:
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático . Esse trinômio é um quadrado perfeito:
Então, o denominador todo fatorado fica:

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, vamos escrever a fração original como uma soma de frações parciais. A ideia é expressar como:
Onde , e são constantes que precisamos determinar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:
Vamos expandir e simplificar para encontrar os valores de , e .

Passo 5

Escolhemos valores estratégicos para para facilitar a resolução:
  1. Se :
  1. Se :
  1. Para encontrar , podemos escolher outro valor, por exemplo, :

Passo 6

Agora que temos , e , podemos escrever a fração parcial:

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:
A integral de é , então:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é:

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(d)
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(m)
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(n)
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(s)