Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por partes:
(m) integral sen^2 x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida usando a técnica de integração por partes. Para isso, precisamos entender como aplicar essa técnica e quais funções escolher como e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher partes da nossa integral original u = sin x e dv = sin x , dx para e . Uma boa escolha é:

Passo 3

Agora, vamos calcular du = cos x , dx e v = integral sin x , dx = -cos x :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral sin x cdot sin x , dx = u cdot v - integral v cdot du
integral sin^2 x , dx = -sin x cos x - integral (-cos x) cdot cos x , dx
integral sin^2 x , dx = -sin x cos x + integral cos^2 x , dx

Passo 5

Agora, temos a integral cos^2 x = 1 - sin^2 x . Sabemos que:
integral cos^2 x , dx = integral (1 - sin^2 x) , dx = integral 1 , dx - integral sin^2 x , dx
Então:
integral cos^2 x , dx = x - integral sin^2 x , dx

Passo 6

Vamos chamar a integral original de I = integral sin^2 x , dx :
I = -sin x cos x + (x - I)
Substituindo na equação anterior:

Passo 7

Agora, vamos isolar I + I = x - sin x cos x :
2I = x - sin x cos x
I = x2 - sin x cos x2 + C

Passo 8

Podemos simplificar ainda mais usando a identidade trigonométrica I = x2 - sin(2x)4 + C :

Resposta

A integral indefinida é:
integral sin^2 x , dx = x2 - sin(2x)4 + C

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