Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(n) integral x^3-6x^4+6 x^2+8 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral indefinida de x^3-6x^4+6 x^2+8 dx usando frações parciais. Isso envolve fatorar o denominador, decompor a fração e integrar cada parte separadamente. Vamos precisar lembrar de fatorar polinômios e usar substituição para integrar funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^4 +6x^2 +8. Note que isso é um polinômio quadrático em x^2. Então, vamos tratar x^2 como uma única variável:
x^4 +6x^2 +8 = (x^2)^2 +6x^2 +8
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos os fatores:
(x^2 +2)(x^2 +4)

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, vamos escrever a fração original como soma de frações parciais. Como os fatores são quadráticos e não podem ser mais fatorados, assumimos a forma:
x^3-6(x^2+2)(x^2+4) = Ax + Bx^2+2 + Cx + Dx^2+4

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados pela expressão fatorada (x^2+2)(x^2+4) para eliminar os denominadores:
x^3 -6 = (Ax + B)(x^2 +4) + (Cx + D)(x^2 +2)
Expandindo os termos:
x^3 -6 = Ax^3 +4Ax + Bx^2 +4B + Cx^3 +2Cx + Dx^2 +2D
Agrupando os termos semelhantes:
x^3 -6 = (A + C)x^3 + (B + D)x^2 + (4A +2C)x + (4B +2D)

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de x dos dois lados da equação:
A + C = 1 B + D = 0 4A + 2C = 0 4B + 2D = -6
Resolvendo esse sistema de equações:
  • Da segunda equação: D = -B
  • Da terceira equação: 4A + 2C = 0 Rightarrow 2A + C = 0
  • Da primeira equação: A + C = 1
    Substituindo C = 1 - A na equação 2A + C = 0, encontramos A = -1 e C = 2.
    Da segunda equação: D = -B
    Da quarta equação: 4B + 2(-B) = -6 Rightarrow 2B = -6 Rightarrow B = -3, então D = 3.

Passo 6

Com os valores encontrados, a decomposição em frações parciais fica:
x^3-6(x^2+2)(x^2+4) = -x -3x^2+2 + 2x +3x^2+4

Passo 7

Agora, vamos integrar cada fração separadamente:
integral -x -3x^2+2 dx + integral 2x +3x^2+4 dx
Isso pode ser separado em:
- integral xx^2+2 dx - 3 integral 1x^2+2 dx + 2 integral xx^2+4 dx + 3 integral 1x^2+4 dx

Passo 8

Vamos resolver cada integral:
  1. Para integral xx^2+2 dx, fazemos u = x^2+2, então du = 2x dx. A integral fica -12 ln|x^2+2|.
  2. Para integral 1x^2+2 dx, sabemos que a integral é 1raiz2 tan^-1(xraiz2).
  3. Para integral xx^2+4 dx, fazemos u = x^2+4, então du = 2x dx. A integral fica 12 ln|x^2+4|.
  4. Para integral 1x^2+4 dx, a integral é 12 tan^-1(x2).

Passo 9

Substituindo de volta, temos:
- 12 ln(x^2+2) - 3 cdot 1raiz2 tan^-1(xraiz2) + 12 ln(x^2+4) + 32 tan^-1(x2) + C

Resposta

Portanto, a integral é igual a:
ln(x^2+4raizx^2+2) + 32 tan^-1(x2) - 3raiz2 tan^-1(xraiz2) + C
onde C é a constante de integração.

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