Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(n)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral indefinida de usando frações parciais. Isso envolve fatorar o denominador, decompor a fração e integrar cada parte separadamente. Vamos precisar lembrar de fatorar polinômios e usar substituição para integrar funções racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador . Note que isso é um polinômio quadrático em . Então, vamos tratar como uma única variável:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos os fatores:
Passo 3
Agora que fatoramos o denominador, vamos escrever a fração original como soma de frações parciais. Como os fatores são quadráticos e não podem ser mais fatorados, assumimos a forma:
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados pela expressão fatorada para eliminar os denominadores:
Expandindo os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de dos dois lados da equação:
Resolvendo esse sistema de equações:
Da segunda equação: D = -B
Da terceira equação: 4A + 2C = 0 Rightarrow 2A + C = 0
Da primeira equação: A + C = 1
Substituindo C = 1 - A na equação 2A + C = 0, encontramos A = -1 e C = 2.
Da segunda equação: D = -B
Da quarta equação: 4B + 2(-B) = -6 Rightarrow 2B = -6 Rightarrow B = -3, então D = 3.
Passo 6
Com os valores encontrados, a decomposição em frações parciais fica:
x^3-6(x^2+2)(x^2+4) = -x -3x^2+2 + 2x +3x^2+4
Passo 7
Agora, vamos integrar cada fração separadamente:
integral -x -3x^2+2 dx + integral 2x +3x^2+4 dx
Isso pode ser separado em:
- integral xx^2+2 dx - 3 integral 1x^2+2 dx + 2 integral xx^2+4 dx + 3 integral 1x^2+4 dx
Passo 8
Vamos resolver cada integral:
Para integral xx^2+2 dx, fazemos u = x^2+2, então du = 2x dx. A integral fica -12 ln|x^2+2|.
Para integral 1x^2+2 dx, sabemos que a integral é 1raiz2 tan^-1(xraiz2).
Para integral xx^2+4 dx, fazemos u = x^2+4, então du = 2x dx. A integral fica 12 ln|x^2+4|.
Para integral 1x^2+4 dx, a integral é 12 tan^-1(x2).