Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(n)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral indefinida de usando frações parciais. Isso envolve fatorar o denominador, decompor a fração e integrar cada parte separadamente. Vamos precisar lembrar de fatorar polinômios e usar substituição para integrar funções racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador . Note que isso é um polinômio quadrático em . Então, vamos tratar como uma única variável:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos os fatores:
Passo 3
Agora que fatoramos o denominador, vamos escrever a fração original como soma de frações parciais. Como os fatores são quadráticos e não podem ser mais fatorados, assumimos a forma:
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados pela expressão fatorada para eliminar os denominadores:
Expandindo os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de dos dois lados da equação:
Resolvendo esse sistema de equações:
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Da primeira equação:
Substituindo na equação , encontramos e .
Da segunda equação:
Da quarta equação: , então .
Passo 6
Com os valores encontrados, a decomposição em frações parciais fica: