Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral indefinida de usando frações parciais. Isso envolve fatorar o denominador, decompor a fração e integrar cada parte separadamente. Vamos precisar lembrar de fatorar polinômios e usar substituição para integrar funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Note que isso é um polinômio quadrático em . Então, vamos tratar como uma única variável:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos os fatores:

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, vamos escrever a fração original como soma de frações parciais. Como os fatores são quadráticos e não podem ser mais fatorados, assumimos a forma:

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados pela expressão fatorada para eliminar os denominadores:
Expandindo os termos:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de dos dois lados da equação:
Resolvendo esse sistema de equações:
  • Da segunda equação:
  • Da terceira equação:
  • Da primeira equação:
    Substituindo na equação , encontramos e .
    Da segunda equação:
    Da quarta equação: , então .

Passo 6

Com os valores encontrados, a decomposição em frações parciais fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada fração separadamente:
Isso pode ser separado em:

Passo 8

Vamos resolver cada integral:
  1. Para , fazemos , então . A integral fica .
  2. Para , sabemos que a integral é .
  3. Para , fazemos , então . A integral fica .
  4. Para , a integral é .

Passo 9

Substituindo de volta, temos:

Resposta

Portanto, a integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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(j)
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(d)
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(s)
Encontrar a primitiva para a função dada a seguir, satisfazendo a condição dada:
© e