Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(f) integral 1(x-1)^2(x-2) d x

Passo 1

Beleza, a gente tem que calcular a integral indefinida de 1(x-1)^2(x-2) usando frações parciais. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente da técnica de integração de funções racionais. Vamos precisar decompor a fração em partes mais simples que a gente sabe integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração 1(x-1)^2(x-2) em frações parciais. Como os fatores (x-1) são repetidos e temos (x-2), a forma geral da decomposição será:
1(x-1)^2(x-2) = Ax-1 + B(x-1)^2 + Cx-2
Aqui, A, B e C são constantes que vamos encontrar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação por (x-1)^2(x-2) para eliminar os denominadores:
1 = A(x-1)(x-2) + B(x-2) + C(x-1)^2

Passo 4

Agora, vamos escolher valores de x que simplificam a resolução:
  • Para x = 1:
1 = A(0)(-1) + B(-1) + C(0) Rightarrow 1 = -B Rightarrow B = -1
  • Para x = 2:
1 = A(1)(0) + B(0) + C(1)^2 Rightarrow 1 = C Rightarrow C = 1

Passo 5

Agora, escolhemos outro valor de x, por exemplo, x = 0, para encontrar A:
1 = A(-1)(-2) + B(-2) + C(1)^2 1 = 2A -2B + C Sabemos que $B = -1$ e $C = 1$, então: ã
1 = 2A -2(-1) + 1 \
1 = 2A + 2 + 1 \
1 = 2A + 3 \
2A = 1 - 3 \
2A = -2 \
A = -1
$$

Passo 6

Agora que encontramos A = -1, B = -1 e C = 1, nossa decomposição fica:
1(x-1)^2(x-2) = -1x-1 + -1(x-1)^2 + 1x-2

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral -1x-1 , dx + integral -1(x-1)^2 , dx + integral 1x-2 , dx

Passo 8

Integrando cada parte:
  1. integral -1x-1 , dx = -ln|x-1|
  2. integral -1(x-1)^2 , dx = 1x-1
  3. integral 1x-2 , dx = ln|x-2|

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
-ln|x-1| + 1x-1 + ln|x-2| + C
Onde C é a constante de integração.

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