Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, a gente tem que calcular a integral indefinida de
usando frações parciais. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente da técnica de integração de funções racionais. Vamos precisar decompor a fração em partes mais simples que a gente sabe integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração
em frações parciais. Como os fatores
são repetidos e temos
, a forma geral da decomposição será:
Aqui,
,
e
são constantes que vamos encontrar.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Agora, vamos escolher valores de
que simplificam a resolução:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Agora, escolhemos outro valor de
, por exemplo,
, para encontrar
:
1 = 2A -2(-1) + 1 \
1 = 2A + 2 + 1 \
1 = 2A + 3 \
2A = 1 - 3 \
2A = -2 \
A = -1
1 = 2A + 2 + 1 \
1 = 2A + 3 \
2A = 1 - 3 \
2A = -2 \
A = -1
$$
Passo 6
Agora que encontramos
,
e
, nossa decomposição fica:
Passo 7
Vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 8
Integrando cada parte:
Resposta
Juntando tudo, a integral é:
Onde
é a constante de integração.