Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
®

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, vamos usar a técnica de frações parciais, que é útil quando temos uma fração onde o numerador tem grau igual ou maior que o denominador. Primeiro, precisamos fatorar o denominador e, se necessário, dividir o numerador pelo denominador para simplificar a expressão.

Passo 2

Vamos começar fatorando o denominador . Podemos fatorar tirando o em comum:
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático :
Então, o denominador fatorado fica:

Passo 3

Agora, vamos verificar o grau do numerador e do denominador . Ambos são de grau 3 após expandir o denominador. Nesse caso, precisamos fazer uma divisão polinomial para simplificar a fração antes de aplicar as frações parciais.

Passo 4

Vamos dividir o numerador pelo denominador .
Dividindo termo a termo, temos:
Isso simplifica nossa integral para:

Passo 5

Agora, focamos na fração . Vamos expressá-la como soma de frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Para encontrar os valores de , e , vamos escolher valores de que simplificam a equação:
  1. :
  1. :
  1. :

Passo 7

Agora que temos os valores de , e , podemos escrever a fração original como:

Passo 8

Voltando à nossa integral original, temos:
Agora, integramos termo a termo:

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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(f)
Encontrar a primitiva para a função dada a seguir, satisfazendo a condição dada:
(e) e
Encontrar a função tal que:
© e