Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
® integral 5 x^3+12x^3-5 x^2+4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, vamos usar a técnica de frações parciais, que é útil quando temos uma fração onde o numerador tem grau igual ou maior que o denominador. Primeiro, precisamos fatorar o denominador e, se necessário, dividir o numerador pelo denominador para simplificar a expressão.

Passo 2

Vamos começar fatorando o denominador x^3-5x^2+4x = x(x^2 - 5x + 4). Podemos fatorar tirando o x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4) em comum:
x^3-5x^2+4x = x(x - 1)(x - 4)
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático :
Então, o denominador fatorado fica:

Passo 3

Agora, vamos verificar o grau do numerador e do denominador . Ambos são de grau 3 após expandir o denominador. Nesse caso, precisamos fazer uma divisão polinomial para simplificar a fração antes de aplicar as frações parciais.

Passo 4

Vamos dividir o numerador 5x^3 + 12x^3 - 5x^2 + 4x = 5 + 25x^2 - 20x + 12x^3 - 5x^2 + 4x pelo denominador integral (5 + 25x^2 - 20x + 12x(x - 1)(x - 4)) dx.
Dividindo termo a termo, temos:
Isso simplifica nossa integral para:

Passo 5

Agora, focamos na fração 25x^2 - 20x + 12x(x - 1)(x - 4) = Ax + Bx - 1 + Cx - 4. Vamos expressá-la como soma de frações parciais:
25x^2 - 20x + 12 = A(x - 1)(x - 4) + Bx(x - 4) + Cx(x - 1)
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Para encontrar os valores de 25(0)^2 - 20(0) + 12 = A(-1)(-4) Rightarrow 12 = 4A Rightarrow A = 3, 25(1)^2 - 20(1) + 12 = B(1)(-3) Rightarrow 25 - 20 + 12 = -3B Rightarrow 17 = -3B Rightarrow B = -173 e 25(16) - 20(4) + 12 = C(4)(3) Rightarrow 400 - 80 + 12 = 12C Rightarrow 332 = 12C Rightarrow C = 833, vamos escolher valores de que simplificam a equação:
  1. :
  1. :
  1. :

Passo 7

Agora que temos os valores de 25x^2 - 20x + 12x(x - 1)(x - 4) = 3x - 17/3x - 1 + 83/3x - 4, e , podemos escrever a fração original como:

Passo 8

Voltando à nossa integral original, temos:
integral (5 + 3x - 17/3x - 1 + 83/3x - 4) dx
Agora, integramos termo a termo:
integral 5 , dx &= 5x integral 3x , dx &= 3 ln|x| integral -173 cdot 1x - 1 , dx &= -173 ln|x - 1| integral 833 cdot 1x - 4 , dx &= 833 ln|x - 4|

Resposta

A integral é igual a:
5x + 3 ln|x| - 173 ln|x - 1| + 833 ln|x - 4| + C
onde é a constante de integração.

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