Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(k) integral x^2-5 x+8x^3-2 x^2+x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida: . A matéria que vamos usar aqui é integração por frações parciais, uma técnica usada para quebrar funções racionais (onde temos um polinômio dividido por outro) em frações mais simples que são mais fáceis de integrar. Primeiro, precisamos fatorar o denominador para ver quais frações parciais vamos precisar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3 - 2x^2 + x = x(x^2 - 2x + 1) . Podemos fatorar um x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 em comum:
x^3 - 2x^2 + x = x(x - 1)^2
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático . Observando, ele é um quadrado perfeito:
Então, o denominador fatorado fica:

Passo 3

Com o denominador fatorado, podemos agora expressar a fração original em termos de frações parciais. Como temos um fator linear x^2 - 5x + 8x(x - 1)^2 = Ax + Bx - 1 + C(x - 1)^2 e um fator linear repetido , a decomposição fica assim:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar os valores de x^2 - 5x + 8 = A(x - 1)^2 + Bx(x - 1) + Cx , e , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Agora, vamos expandir e simplificar a equação para facilitar a comparação dos coeficientes.

Passo 5

Expanda cada termo do lado direito:
A(x - 1)^2 = A(x^2 - 2x + 1) = Ax^2 - 2Ax + A
Bx(x - 1) = Bx^2 - Bx
Cx = Cx
Então, somando tudo:
Ax^2 - 2Ax + A + Bx^2 - Bx + Cx = (A + B)x^2 + (-2A - B + C)x + A

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes nos dois lados da equação:
A + B = 1 (coeficiente de x^2) -2A - B + C = -5 (coeficiente de x) A = 8 (termo constante)

Passo 7

Podemos resolver essas equações para encontrar 8 + B = 1 Rightarrow B = 1 - 8 = -7 , -2(8) - (-7) + C = -5 Rightarrow -16 + 7 + C = -5 Rightarrow -9 + C = -5 Rightarrow C = 4 e . Já sabemos que .
Substituindo na primeira equação:
Agora, substituindo e na segunda equação:

Passo 8

Agora que temos x^2 - 5x + 8x(x - 1)^2 = 8x + -7x - 1 + 4(x - 1)^2 , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais completa:

Passo 9

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral ( 8x - 7x - 1 + 4(x - 1)^2 ) dx
Vamos integrar termo a termo.

Passo 10

Integrando cada termo:
  1. integral 4(x - 1)^2 , dx = 4 ( -1x - 1 ) = -4x - 1
Para o terceiro termo, lembramos que , então:

Resposta

Juntando tudo, a integral indefinida é:
integral x^2-5x+8x^3-2x^2+x , dx = 8 ln |x| - 7 ln |x - 1| - 4x - 1 + C
Onde é a constante de integração.

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