Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral:
Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve frações racionais, ou seja, um polinômio dividido por outro polinômio. A técnica que vamos usar se chama integração por frações parciais. Essa técnica é útil quando conseguimos decompôr a fração complicada em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos decompôr a fração em frações parciais. Isso significa que queremos escrever:
Onde , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar os valores de , e , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Agora, vamos escolher valores de que simplifiquem a equação.

Passo 4

Escolheremos valores de que zerem dois dos termos, facilitando a resolução:
  1. Quando :
  1. Quando :
  1. Quando :

Passo 5

Agora que temos os valores de , e , podemos reescrever a fração original:

Passo 6

Vamos agora integrar cada termo separadamente:

Passo 7

Sabemos que a integral de é , então:
Onde é a constante de integração.

Resposta

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Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por partes:
(a)
Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:
(t)
Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(f)
Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(k)