Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(a) integral x(x+1)(x+3)(x+5) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral:
integral x(x+1)(x+3)(x+5) , dx
Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve frações racionais, ou seja, um polinômio dividido por outro polinômio. A técnica que vamos usar se chama integração por frações parciais. Essa técnica é útil quando conseguimos decompôr a fração complicada em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos decompôr a fração x(x+1)(x+3)(x+5) = Ax+1 + Bx+3 + Cx+5 em frações parciais. Isso significa que queremos escrever:
Onde , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar os valores de x = A(x+3)(x+5) + B(x+1)(x+5) + C(x+1)(x+3) , e , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Agora, vamos escolher valores de que simplifiquem a equação.

Passo 4

Escolheremos valores de -1 = A(-1+3)(-1+5) + B(0) + C(0) -1 = A(2)(4) -1 = 8A A = -18 que zerem dois dos termos, facilitando a resolução:
  1. Quando -3 = A(0) + B(-3+1)(-3+5) + C(0) -3 = B(-2)(2) -3 = -4B B = 34 :
-5 = A(0) + B(0) + C(-5+1)(-5+3) -5 = C(-4)(-2) -5 = 8C C = -58
  1. Quando :
  1. Quando :

Passo 5

Agora que temos os valores de x(x+1)(x+3)(x+5) = -18cdot1x+1 + 34cdot1x+3 - 58cdot1x+5 , e , podemos reescrever a fração original:

Passo 6

Vamos agora integrar cada termo separadamente:
integral x(x+1)(x+3)(x+5) , dx = -18 integral 1x+1 , dx + 34 integral 1x+3 , dx - 58 integral 1x+5 , dx

Passo 7

Sabemos que a integral de = -18 ln|x+1| + 34 ln|x+3| - 58 ln|x+5| + C é , então:
Onde é a constante de integração.

Resposta

integral x(x+1)(x+3)(x+5) , dx = -18 ln|x+1| + 34 ln|x+3| - 58 ln|x+5| + C

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