Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por partes:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral indefinida
usando a técnica de integração por partes. A integração por partes é uma ferramenta poderosa que nos ajuda a integrar produtos de funções. Para isso, vamos precisar identificar duas partes na nossa integral: uma que se simplifica ao derivar e outra que é fácil de integrar.
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será
e qual será
. A escolha é importante para simplificar o cálculo.
Passo 3
No nosso caso, temos
multiplicando
. Geralmente, funções polinomiais são boas candidatas para
porque elas simplificam ao serem derivadas. Então, vamos escolher:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
derivando
e
integrando
:
Passo 5
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Agora, temos uma nova integral para resolver:
. Vamos aplicar novamente a integração por partes nessa integral. Escolhemos:
Passo 7
Derivando
e integrando
:
Passo 8
Aplicando a fórmula novamente:
Passo 9
Resolvendo a última integral:
Então:
Passo 10
Voltando à nossa expressão original:
Substituímos a integral que encontramos:
Resposta
Finalmente, a integral resulta em:
Onde
é a constante de integração.
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(t)
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§
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(a)
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(f)
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