Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por partes:
(a) integral(x^2+2 x) e^x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida usando a técnica de integração por partes. A integração por partes é uma ferramenta poderosa que nos ajuda a integrar produtos de funções. Para isso, vamos precisar identificar duas partes na nossa integral: uma que se simplifica ao derivar e outra que é fácil de integrar.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será e qual será . A escolha é importante para simplificar o cálculo.

Passo 3

No nosso caso, temos u = x^2 + 2x e dv = e^x , dx multiplicando . Geralmente, funções polinomiais são boas candidatas para porque elas simplificam ao serem derivadas. Então, vamos escolher:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar du = ddx(x^2 + 2x) , dx = (2x + 2) , dx derivando v = integral e^x , dx = e^x e integrando :

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral (x^2 + 2x) e^x , dx = (x^2 + 2x) e^x - integral e^x (2x + 2) , dx

Passo 6

Agora, temos uma nova integral para resolver: u = 2x + 2 e dv = e^x , dx . Vamos aplicar novamente a integração por partes nessa integral. Escolhemos:

Passo 7

Derivando du = ddx(2x + 2) , dx = 2 , dx e integrando v = integral e^x , dx = e^x :

Passo 8

Aplicando a fórmula novamente:
integral (2x + 2) e^x , dx = (2x + 2) e^x - integral e^x cdot 2 , dx
= (2x + 2) e^x - 2 integral e^x , dx

Passo 9

Resolvendo a última integral:
integral e^x , dx = e^x
Então:
(2x + 2) e^x - 2 e^x = e^x(2x + 2 - 2) = 2x e^x

Passo 10

Voltando à nossa expressão original:
integral (x^2 + 2x) e^x , dx = (x^2 + 2x) e^x - integral (2x + 2) e^x , dx
Substituímos a integral que encontramos:
= (x^2 + 2x) e^x - [2x e^x] + C

Resposta

Finalmente, a integral resulta em:
integral (x^2 + 2x) e^x , dx = (x^2 + 2x - 2x) e^x + C = x^2 e^x + C
Onde é a constante de integração.

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