Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por partes:
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida usando a técnica de integração por partes. A integração por partes é uma ferramenta poderosa que nos ajuda a integrar produtos de funções. Para isso, vamos precisar identificar duas partes na nossa integral: uma que se simplifica ao derivar e outra que é fácil de integrar.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será e qual será . A escolha é importante para simplificar o cálculo.

Passo 3

No nosso caso, temos multiplicando . Geralmente, funções polinomiais são boas candidatas para porque elas simplificam ao serem derivadas. Então, vamos escolher:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar derivando e integrando :

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Agora, temos uma nova integral para resolver: . Vamos aplicar novamente a integração por partes nessa integral. Escolhemos:

Passo 7

Derivando e integrando :

Passo 8

Aplicando a fórmula novamente:

Passo 9

Resolvendo a última integral:
Então:

Passo 10

Voltando à nossa expressão original:
Substituímos a integral que encontramos:

Resposta

Finalmente, a integral resulta em:
Onde é a constante de integração.

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(t)
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§
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