Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
§

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral indefinida de usando a técnica de frações parciais. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente em integrais de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e quebrar a fração em partes mais simples que a gente saiba integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Isso vai ajudar a simplificar a fração. Sabia que é e é ? Então, podemos escrever:
Isso é uma diferença de quadrados! A diferença de quadrados se fatora como . Aplicando isso:
Mas ainda dá para fatorar mais, porque também é uma diferença de quadrados ( ):
Então, no total:

Passo 3

Agora que o denominador está fatorado, vamos expressar a fração como soma de frações mais simples. A ideia das frações parciais é quebrar a fração original em frações menores que são mais fáceis de integrar.
Vamos assumir que:
Aqui, , , e são constantes que precisamos descobrir.

Passo 4

Para encontrar os valores de , , e , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum , para eliminar as frações:
Agora, podemos escolher valores específicos de que simplificam a equação:
  1. Quando :
  2. Quando :
Agora, para encontrar e , vamos expandir a equação original e igualar os coeficientes:
Sabemos que e :
Vamos expandir:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Igualando os coeficientes dos mesmos poderes de :
  1. Termo :
  2. Termo :
  3. Termo :
  4. Termo constante:
Então, encontramos que e .

Passo 5

Com os valores de , , e encontrados, a decomposição em frações parciais fica:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Vamos integrar termo a termo:
  1. Integrando :
    (Aqui, usamos a integral básica de )
  2. Integrando :
    (Fizemos a substituição , então )
  3. Integrando :
    (Aqui, usamos a integral padrão )
Juntando tudo:

Resposta

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(e)
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(a) e
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(f) e