Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
§ integral 8 x-1616-x^4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral indefinida de usando a técnica de frações parciais. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente em integrais de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e quebrar a fração em partes mais simples que a gente saiba integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador 16 - x^4 = 4^2 - (x^2)^2 . Isso vai ajudar a simplificar a fração. Sabia que 16 - x^4 = (4 - x^2)(4 + x^2) é 4 - x^2 = (2 - x)(2 + x) e 16 - x^4 = (2 - x)(2 + x)(4 + x^2) é ? Então, podemos escrever:
Isso é uma diferença de quadrados! A diferença de quadrados se fatora como . Aplicando isso:
Mas ainda dá para fatorar mais, porque também é uma diferença de quadrados ( ):
Então, no total:

Passo 3

Agora que o denominador está fatorado, vamos expressar a fração 8x - 16(2 - x)(2 + x)(4 + x^2) = A2 - x + B2 + x + Cx + D4 + x^2 como soma de frações mais simples. A ideia das frações parciais é quebrar a fração original em frações menores que são mais fáceis de integrar.
Vamos assumir que:
Aqui, , , e são constantes que precisamos descobrir.

Passo 4

Para encontrar os valores de 8x - 16 = A(2 + x)(4 + x^2) + B(2 - x)(4 + x^2) + (Cx + D)(2 - x)(2 + x) , 8(2) - 16 = A(2 + 2)(4 + (2)^2) + B(2 - 2)(4 + (2)^2) + (C(2) + D)(2 - 2)(2 + 2) , 16 - 16 = A(4)(8) + 0 + 0 Rightarrow 0 = 32A Rightarrow A = 0 e 8(-2) - 16 = A(2 - 2)(4 + (-2)^2) + B(2 + 2)(4 + (-2)^2) + (C(-2) + D)(2 - (-2))(2 + (-2)) , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum -16 - 16 = 0 + B(4)(8) + 0 Rightarrow -32 = 32B Rightarrow B = -1 , para eliminar as frações:
8x - 16 = A(2 + x)(4 + x^2) + B(2 - x)(4 + x^2) + (Cx + D)(4 - x^2)
Agora, podemos escolher valores específicos de 8x - 16 = -1(2 - x)(4 + x^2) + (Cx + D)(4 - x^2) que simplificam a equação:
  1. Quando 8x - 16 = -1(8 + 2x^2 - 4x - x^3) + (Cx + D)(4 - x^2) :
    8x - 16 = -8 - 2x^2 + 4x + x^3 + 4Cx - Cx^3 + 4D - Dx^2
    8x - 16 = x^3 - Cx^3 - 2x^2 - Dx^2 + (4 + 4C)x + (-8 + 4D)
  2. Quando 0 = 1 - C Rightarrow C = 1 :
    0 = -2 - D Rightarrow D = -2
    8 = 4 + 4C Rightarrow 8 = 4 + 4(1) Rightarrow 8 = 8
Agora, para encontrar -16 = -8 + 4D Rightarrow -16 = -8 + 4(-2) Rightarrow -16 = -16 e , vamos expandir a equação original e igualar os coeficientes:
Sabemos que e :
Vamos expandir:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Igualando os coeficientes dos mesmos poderes de :
  1. Termo :
  2. Termo :
  3. Termo :
  4. Termo constante:
Então, encontramos que e .

Passo 5

Com os valores de 8x - 16(2 - x)(2 + x)(4 + x^2) = 02 - x + -12 + x + 1x - 24 + x^2 , 8x - 1616 - x^4 = -12 + x + x - 24 + x^2 , e encontrados, a decomposição em frações parciais fica:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 8x - 1616 - x^4 , dx = integral ( -12 + x + x - 24 + x^2 ) dx
Vamos integrar termo a termo:
  1. Integrando integral -12 + x , dx = -ln|2 + x| + C1 :
    integral x4 + x^2 , dx = 12 ln|4 + x^2| + C2
    (Aqui, usamos a integral básica de integral -24 + x^2 , dx = - integral 24 + x^2 , dx = - 22 tan^-1( x2 ) + C3 = - tan^-1( x2 ) + C3 )
  2. Integrando integral 8x - 1616 - x^4 , dx = -ln|2 + x| + 12 ln|4 + x^2| - tan^-1( x2 ) + C :
    (Fizemos a substituição , então )
  3. Integrando :
    (Aqui, usamos a integral padrão )
Juntando tudo:

Resposta

integral 8x - 1616 - x^4 , dx = -ln|2 + x| + 12 ln|4 + x^2| - tan^-1( x2 ) + C

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