Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
§
§
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral indefinida de
usando a técnica de frações parciais. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente em integrais de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e quebrar a fração em partes mais simples que a gente saiba integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Isso vai ajudar a simplificar a fração. Sabia que
é
e
é
? Então, podemos escrever:
Isso é uma diferença de quadrados! A diferença de quadrados
se fatora como
. Aplicando isso:
Mas ainda dá para fatorar mais, porque
também é uma diferença de quadrados (
):
Então, no total:
Passo 3
Agora que o denominador está fatorado, vamos expressar a fração
como soma de frações mais simples. A ideia das frações parciais é quebrar a fração original em frações menores que são mais fáceis de integrar.
Vamos assumir que:
Aqui,
,
,
e
são constantes que precisamos descobrir.
Passo 4
Para encontrar os valores de
,
,
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum
, para eliminar as frações:
Agora, podemos escolher valores específicos de
que simplificam a equação:
-
Quando
: -
Quando
:
Agora, para encontrar
e
, vamos expandir a equação original e igualar os coeficientes:
Sabemos que
e
:
Vamos expandir:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Igualando os coeficientes dos mesmos poderes de
:
-
Termo
: -
Termo
: -
Termo
: -
Termo constante:
Então, encontramos que
e
.
Passo 5
Com os valores de
,
,
e
encontrados, a decomposição em frações parciais fica:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Vamos integrar termo a termo:
-
Integrando
: (Aqui, usamos a integral básica de) -
Integrando
: (Fizemos a substituição, então ) -
Integrando
: (Aqui, usamos a integral padrão)
Juntando tudo:
Resposta
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(h)
(h)
Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(e)
(e)
Encontrar a primitiva
para a função
dada a seguir, satisfazendo a condição dada:
(a) e
(a)
Encontrar a primitiva
para a função
dada a seguir, satisfazendo a condição dada:
(f) e
(f)