Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(h)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral indefinida:
Esse tipo de integral geralmente é resolvido utilizando a técnica de frações parciais, que é uma forma de decompor uma fração racional em somas de frações mais simples para facilitar a integração.
Passo 2
O primeiro passo para aplicar frações parciais é fatorar o denominador da fração. Vamos fatorar o polinômio .
Procuramos as raízes desse polinômio testando possíveis valores que tornam o polinômio igual a zero. Testando :
Então, é uma raiz, e podemos fatorar do denominador:
Agora, fatoramos o polinômio quadrático :
Portanto, o denominador fatorado fica:
Passo 3
Agora que o denominador está fatorado, podemos decompor a fração original em frações parciais. Queremos encontrar constantes , e tais que:
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:
Agora, expandimos e simplificamos o lado direito:
Passo 5
Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos polinômios do lado esquerdo e direito:
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos:
Passo 6
Substituímos os valores de , e na decomposição original: