Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(h) integral x^2+2 x-5x^3-3 x+2 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral indefinida:
integral x^2 + 2x - 5x^3 - 3x + 2 , dx
Esse tipo de integral geralmente é resolvido utilizando a técnica de frações parciais, que é uma forma de decompor uma fração racional em somas de frações mais simples para facilitar a integração.

Passo 2

O primeiro passo para aplicar frações parciais é fatorar o denominador da fração. Vamos fatorar o polinômio 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 .
Procuramos as raízes desse polinômio testando possíveis valores que tornam o polinômio igual a zero. Testando x^3 - 3x + 2 = (x - 1)(x^2 + x - 2) :
x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)
Então, x^3 - 3x + 2 = (x - 1)^2(x + 2) é uma raiz, e podemos fatorar do denominador:
Agora, fatoramos o polinômio quadrático :
Portanto, o denominador fatorado fica:

Passo 3

Agora que o denominador está fatorado, podemos decompor a fração original em frações parciais. Queremos encontrar constantes x^2 + 2x - 5(x - 1)^2(x + 2) = Ax - 1 + B(x - 1)^2 + Cx + 2 , e tais que:

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum x^2 + 2x - 5 = A(x - 1)(x + 2) + B(x + 2) + C(x - 1)^2 para eliminar as frações:
A(x^2 + x - 2) + B(x + 2) + C(x^2 - 2x + 1) = (A + C)x^2 + (A - 2C + B)x + (-2A + 2B + C)
Agora, expandimos e simplificamos o lado direito:

Passo 5

Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos polinômios do lado esquerdo e direito:
A + C = 1 (coeficiente de x^2) A - 2C + B = 2 (coeficiente de x) -2A + 2B + C = -5 (termo constante)
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos:
A = 149, B = -23, C = -59

Passo 6

Substituímos os valores de x^2 + 2x - 5(x - 1)^2(x + 2) = 149x - 1 + -23(x - 1)^2 + -59x + 2 , 149cdot1x - 1 - 23cdot1(x - 1)^2 - 59cdot1x + 2 e na decomposição original:
Simplificando:

Passo 7

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral 149cdot1x - 1 , dx = 149 ln|x - 1| + C1
integral -23cdot1(x - 1)^2 , dx = 23cdot1x - 1 + C2
integral -59cdot1x + 2 , dx = -59 ln|x + 2| + C3
Onde , e são constantes de integração.

Resposta

A integral calculada é:
integral x^2 + 2x - 5x^3 - 3x + 2 , dx = 149 ln|x - 1| + 23 (x - 1) - 59 ln|x + 2| + C
Onde é a constante de integração.

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