Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(h)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral indefinida:
Esse tipo de integral geralmente é resolvido utilizando a técnica de frações parciais, que é uma forma de decompor uma fração racional em somas de frações mais simples para facilitar a integração.

Passo 2

O primeiro passo para aplicar frações parciais é fatorar o denominador da fração. Vamos fatorar o polinômio .
Procuramos as raízes desse polinômio testando possíveis valores que tornam o polinômio igual a zero. Testando :
Então, é uma raiz, e podemos fatorar do denominador:
Agora, fatoramos o polinômio quadrático :
Portanto, o denominador fatorado fica:

Passo 3

Agora que o denominador está fatorado, podemos decompor a fração original em frações parciais. Queremos encontrar constantes , e tais que:

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:
Agora, expandimos e simplificamos o lado direito:

Passo 5

Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos polinômios do lado esquerdo e direito:
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos:

Passo 6

Substituímos os valores de , e na decomposição original:
Simplificando:

Passo 7

Agora, integramos cada termo separadamente:
Onde , e são constantes de integração.

Resposta

A integral calculada é:
Onde é a constante de integração.

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(e)
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(j)
Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
§
Encontrar a primitiva para a função dada a seguir, satisfazendo a condição dada:
(a) e