Encontrar a primitiva F para a função f dada a seguir, satisfazendo a condição dada:
(a) f(x) = x sen(x^2) e F(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para encontrar uma primitiva da função , e essa primitiva precisa satisfazer a condição . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente de integração e antiderivadas. Para resolver, vamos usar a técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a antiderivada de . A integração de vai nos dar a primitiva mais uma constante de integração .

Passo 3

Vamos usar a substituição para facilitar a integração. Vamos escolher:
Então, derivando ambos os lados em relação a :
Isso significa que .

Passo 4

Substituindo na integral original:
Agora, a integral de é , então:

Passo 5

Voltando para a variável original , já que :

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor da constante . Substituindo na expressão de :
Sabemos que , então:
Resolvendo para :

Resposta

A primitiva é:

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