Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral indefinida usando a técnica de frações parciais. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente com Integração por Frações Parciais. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador (já está fatorado em termos lineares) e expressar a fração como a soma de frações mais simples que a gente consegue integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração em frações parciais. Assumimos que podemos escrever:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar. Para descobrir esses valores, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Agora, vamos expandir e simplificar a equação:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Subtraindo a primeira equação da terceira:
Simplificando:
Resolvendo o sistema, obtemos:
Passo 3
Agora que temos os valores de integral ( 23x+1 + -12x+3 + 16x+5 ) dx , 23 integral 1x+1 , dx - 12 integral 1x+3 , dx + 16 integral 1x+5 , dx e 23 ln|x+1| - 12 ln|x+3| + 16 ln|x+5| + C , podemos escrever a integral original como:
Simplificando:
Sabemos que . Aplicando isso:
Resposta
A integral 23 ln|x+1| - 12 ln|x+3| + 16 ln|x+5| + C é igual a: