Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida usando a técnica de frações parciais. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente com Integração por Frações Parciais. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador (já está fatorado em termos lineares) e expressar a fração como a soma de frações mais simples que a gente consegue integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração em frações parciais. Assumimos que podemos escrever:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar. Para descobrir esses valores, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Agora, vamos expandir e simplificar a equação:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos:
  • Subtraindo a primeira equação da segunda:
  • Subtraindo a primeira equação da terceira:
  • Simplificando:
Resolvendo o sistema, obtemos:

Passo 3

Agora que temos os valores de , e , podemos escrever a integral original como:
Simplificando:
Sabemos que . Aplicando isso:

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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(j)
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(e)
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(h)
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§