Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(e) integral x^2-x+1(x+1)(x+3)(x+5) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida usando a técnica de frações parciais. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente com Integração por Frações Parciais. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador (já está fatorado em termos lineares) e expressar a fração como a soma de frações mais simples que a gente consegue integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração x^2-x+1(x+1)(x+3)(x+5) = Ax+1 + Bx+3 + Cx+5 em frações parciais. Assumimos que podemos escrever:
x^2-x+1 = A(x+3)(x+5) + B(x+1)(x+5) + C(x+1)(x+3)
Aqui, x^2-x+1 = A(x^2 + 8x + 15) + B(x^2 + 6x + 5) + C(x^2 + 4x + 3) , x^2-x+1 = (A + B + C)x^2 + (8A + 6B + 4C)x + (15A + 5B + 3C) e A + B + C = 1 8A + 6B + 4C = -1 15A + 5B + 3C = 1 são constantes que precisamos encontrar. Para descobrir esses valores, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum 7A + 5B + 3C = -2 :
14A + 4B + 2C = 0
Agora, vamos expandir e simplificar a equação:
7A + 2B + C = 0
Agrupando os termos semelhantes:
A = 23, B = -12, C = 16
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos:
  • Subtraindo a primeira equação da segunda:
  • Subtraindo a primeira equação da terceira:
  • Simplificando:
Resolvendo o sistema, obtemos:

Passo 3

Agora que temos os valores de integral ( 23x+1 + -12x+3 + 16x+5 ) dx , 23 integral 1x+1 , dx - 12 integral 1x+3 , dx + 16 integral 1x+5 , dx e 23 ln|x+1| - 12 ln|x+3| + 16 ln|x+5| + C , podemos escrever a integral original como:
Simplificando:
Sabemos que . Aplicando isso:

Resposta

A integral 23 ln|x+1| - 12 ln|x+3| + 16 ln|x+5| + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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