Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(q)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral indefinida:
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de frações parciais, que é útil para integrar funções racionais, ou seja, quocientes de polinômios. Essa técnica consiste em decompor a fração original em uma soma de frações mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração:
Como o denominador é , a forma da decomposição será:
Aqui, , , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador para eliminar as frações:
Agora, expandimos e simplificamos a expressão do lado direito.
Passo 4
Expandindo :
Substituindo na equação:
Agora, distribuímos os termos:
Passo 5
Agrupamos os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos graus de dos dois lados da equação:
Passo 6
Resolvemos o sistema de equações:
Substituímos nas outras equações:
Agora, substituímos na equação 2:
E na equação :
Então:
, ,
Passo 7
Agora que encontramos os valores de x^2 - 2x + 3(x^2 + 1)(x - 1)^2 = 1 cdot x + 1x^2 + 1 + -1x - 1 + 1(x - 1)^2 , x + 1x^2 + 1 - 1x - 1 + 1(x - 1)^2 , e , substituímos de volta na decomposição:
Simplificando:
Passo 8
Agora, integramos cada termo separadamente:
integral ( x + 1x^2 + 1 - 1x - 1 + 1(x - 1)^2 ) dx