Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(q) integral x^2-2 x+3(x^2+1)(x-1)^2 d x

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral indefinida:
integral x^2 - 2x + 3(x^2 + 1)(x - 1)^2 , dx
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de frações parciais, que é útil para integrar funções racionais, ou seja, quocientes de polinômios. Essa técnica consiste em decompor a fração original em uma soma de frações mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração:
x^2 - 2x + 3(x^2 + 1)(x - 1)^2
Como o denominador é x^2 - 2x + 3(x^2 + 1)(x - 1)^2 = Ax + Bx^2 + 1 + Cx - 1 + D(x - 1)^2 , a forma da decomposição será:
Aqui, , , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador x^2 - 2x + 3 = (Ax + B)(x - 1)^2 + C(x^2 + 1)(x - 1) + D(x^2 + 1) para eliminar as frações:
Agora, expandimos e simplificamos a expressão do lado direito.

Passo 4

Expandindo (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1 :
x^2 - 2x + 3 = (Ax + B)(x^2 - 2x + 1) + C(x^3 - x^2 + x - 1) + D(x^2 + 1)
Substituindo na equação:
x^2 - 2x + 3 = Ax^3 - 2Ax^2 + Ax + Bx^2 - 2Bx + B + Cx^3 - Cx^2 + Cx - C + Dx^2 + D
Agora, distribuímos os termos:

Passo 5

Agrupamos os termos semelhantes:
x^2 - 2x + 3 = (A + C)x^3 + (-2A + B - C + D)x^2 + (A - 2B + C)x + (B - C + D)
Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos graus de A + C = 0 (coeficiente de x^3) -2A + B - C + D = 1 (coeficiente de x^2) A - 2B + C = -2 (coeficiente de x) B - C + D = 3 (termos constantes) dos dois lados da equação:

Passo 6

Resolvemos o sistema de equações:
Substituímos nas outras equações:
Agora, substituímos na equação 2:
E na equação :
Então:
, ,

Passo 7

Agora que encontramos os valores de x^2 - 2x + 3(x^2 + 1)(x - 1)^2 = 1 cdot x + 1x^2 + 1 + -1x - 1 + 1(x - 1)^2 , x + 1x^2 + 1 - 1x - 1 + 1(x - 1)^2 , e , substituímos de volta na decomposição:
Simplificando:

Passo 8

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral ( x + 1x^2 + 1 - 1x - 1 + 1(x - 1)^2 ) dx
Vamos integrar cada um:
  1. 12 ln|x^2 + 1| + C
    Fazendo , , então:

Passo 9

Juntando todas as integrais:
12 ln|x^2 + 1| + tan^-1(x) - ln|x - 1| - 1x - 1 + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a
12 ln(x^2 + 1) + tan^-1(x) - ln|x - 1| - 1x - 1 + C
onde é a constante de integração.

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