Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(q)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral indefinida:
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de frações parciais, que é útil para integrar funções racionais, ou seja, quocientes de polinômios. Essa técnica consiste em decompor a fração original em uma soma de frações mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração:
Como o denominador é , a forma da decomposição será:
Aqui, , , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador para eliminar as frações:
Agora, expandimos e simplificamos a expressão do lado direito.

Passo 4

Expandindo :
Substituindo na equação:
Agora, distribuímos os termos:

Passo 5

Agrupamos os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos graus de dos dois lados da equação:

Passo 6

Resolvemos o sistema de equações:
Substituímos nas outras equações:
Agora, substituímos na equação 2:
E na equação :
Então:
, ,

Passo 7

Agora que encontramos os valores de , , e , substituímos de volta na decomposição:
Simplificando:

Passo 8

Agora, integramos cada termo separadamente:
Vamos integrar cada um:
  1. Fazendo , , então:

Passo 9

Juntando todas as integrais:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a
onde é a constante de integração.

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(t)
Encontrar a primitiva para a função dada a seguir, satisfazendo a condição dada:
(d) e