Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(m)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! Temos uma integral indefinida que envolve uma fração racional, ou seja, um polinômio dividido por outro. O conteúdo que vamos usar aqui é a técnica de integração por frações parciais. Para isso, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples que a gente sabe integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a fração que queremos integrar:
O denominador é composto por um fator linear e um fator quadrático que não pode ser fatorado mais (irreducível). Então, assumimos que podemos escrever a fração assim:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Para encontrar , e , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:
Passo 4
Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Para encontrar , e , vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, da primeira equação, temos:
A = 2 - B
Substituindo 5(2 - B) - C = -3 10 - 5B - C = -3 -5B - C = -13 (Equação 4) na terceira equação:
-2(2 - B) - B + C = -3 -4 + 2B - B + C = -3 B + C = 1 (Equação 5) çã
E substituindo na segunda equação:
çã
Passo 7
Agora temos as Equações 4 e 5:
-5B - C = -13 B + C = 1
Vamos somar as duas equações para eliminar -5B - C + B + C = -13 + 1 -4B = -12 B = 3 :
3 + C = 1 C = -2
Substituindo A = 2 - 3 = -1 na Equação 5:
E substituindo na expressão para :
Passo 8
Agora que encontramos 2x^2 - 3x - 3(x - 1)(x^2 - 2x + 5) = -1x - 1 + 3x - 2x^2 - 2x + 5 , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Passo 9
Vamos agora integrar cada termo separadamente:
integral -1x - 1 , dx + integral 3x - 2x^2 - 2x + 5 , dx
Passo 10
Primeiro, a integral - ln|x - 1| é uma integral logarítmica simples:
Passo 11
Agora, para a segunda integral x^2 - 2x + 5 = (x - 1)^2 + 4 , vamos completar o quadrado no denominador:
integral 3x - 2(x - 1)^2 + 4 , dx
Então, a integral fica:
Passo 12
Vamos separar o numerador para facilitar a integração:
3x - 2 = 3(x - 1) + 1
Então, a integral se torna:
integral 3(x - 1)(x - 1)^2 + 4 , dx + integral 1(x - 1)^2 + 4 , dx
Passo 13
Resolvendo cada parte:
32 ln( (x - 1)^2 + 4 ) + 12 arctan( x - 12 ) é uma integral que resulta em uma função logarítmica.
resulta em uma função arctan.
Calculando:
Passo 14
Finalmente, juntando todas as partes integradas, temos a solução da integral original: