Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral que precisa ser resolvida usando a técnica de frações parciais. O enunciado é:
Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador para quebrar a fração em partes menores que a gente consegue integrar mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o polinômio do denominador:
Vamos tentar encontrar as raízes desse polinômio testando valores possíveis como ou .
Testando :
Como deu zero, é uma raiz. Então, podemos fatorar .

Passo 3

Dividindo o polinômio original por usando a divisão sintética, encontramos:
Agora, vamos fatorar o polinômio cúbico . Testando novamente :
Então, é uma raiz dupla. Continuando a fatoração:
Fatorando :
Portanto, o denominador fatorado fica:

Passo 4

Agora que temos o denominador fatorado, vamos expressar a fração original como soma de frações parciais:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , , e .

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados pela expressão denominadora para eliminar as frações:
Agora, vamos encontrar os valores de , , e substituindo valores estratégicos de .

Passo 6

Encontrando : Escolhemos :
Encontrando : Escolhemos :
Encontrando : Escolhemos :
Encontrando : Podemos escolher outro valor, como :
Substituindo , , :

Passo 7

Agora que temos os valores:
A fração original fica:

Passo 8

Vamos simplificar antes de integrar:
Agora, integramos cada termo separadamente.

Passo 9

Integrando termo a termo:
Usamos as integrais básicas:
Aplicando isso aos nossos termos:

Resposta

A integral vale:
onde é a constante de integração.

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(q)
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(o)
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(d) e
Encontrar a primitiva para a função dada a seguir, satisfazendo a condição dada:
(b) e