Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(t)
(t)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral que precisa ser resolvida usando a técnica de frações parciais. O enunciado é:
Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador para quebrar a fração em partes menores que a gente consegue integrar mais facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o polinômio do denominador:
Vamos tentar encontrar as raízes desse polinômio testando valores possíveis como
ou
.
Testando
:
Como deu zero,
é uma raiz. Então, podemos fatorar
.
Passo 3
Dividindo o polinômio original por
usando a divisão sintética, encontramos:
Agora, vamos fatorar o polinômio cúbico
. Testando novamente
:
Então,
é uma raiz dupla. Continuando a fatoração:
Fatorando
:
Portanto, o denominador fatorado fica:
Passo 4
Agora que temos o denominador fatorado, vamos expressar a fração original como soma de frações parciais:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
,
,
e
.
Passo 5
Multiplicamos ambos os lados pela expressão denominadora para eliminar as frações:
Agora, vamos encontrar os valores de
,
,
e
substituindo valores estratégicos de
.
Passo 6
Encontrando
: Escolhemos
:
Encontrando
: Escolhemos
:
Encontrando
: Escolhemos
:
Encontrando
: Podemos escolher outro valor, como
:
Substituindo
,
,
:
Passo 7
Agora que temos os valores:
A fração original fica:
Passo 8
Vamos simplificar antes de integrar:
Agora, integramos cada termo separadamente.
Passo 9
Integrando termo a termo:
Usamos as integrais básicas:
Aplicando isso aos nossos termos:
Resposta
A integral vale:
onde
é a constante de integração.
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Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(q)
(q)
Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(o)
(o)
Encontrar a primitiva
para a função
dada a seguir, satisfazendo a condição dada:
(d) e
(d)
Encontrar a primitiva
para a função
dada a seguir, satisfazendo a condição dada:
(b) e
(b)