Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(t) integral x^3+x^2-8x^4-3 x^3+x^2+3 x-2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral que precisa ser resolvida usando a técnica de frações parciais. O enunciado é:
integral x^3+x^2-8x^4-3 x^3+x^2+3 x-2 , dx
Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador para quebrar a fração em partes menores que a gente consegue integrar mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o polinômio do denominador:
x^4 - 3x^3 + x^2 + 3x - 2
Vamos tentar encontrar as raízes desse polinômio testando valores possíveis como 1 - 3 + 1 + 3 - 2 = 0 ou .
Testando :
Como deu zero, é uma raiz. Então, podemos fatorar .

Passo 3

Dividindo o polinômio original por (x - 1)(x^3 - 2x^2 - x + 2) usando a divisão sintética, encontramos:
1 - 2 - 1 + 2 = 0
Agora, vamos fatorar o polinômio cúbico (x - 1)^2(x^2 - x - 2) . Testando novamente (x - 2)(x + 1) :
(x - 1)^2(x - 2)(x + 1)
Então, é uma raiz dupla. Continuando a fatoração:
Fatorando :
Portanto, o denominador fatorado fica:

Passo 4

Agora que temos o denominador fatorado, vamos expressar a fração original como soma de frações parciais:
x^3 + x^2 - 8(x - 1)^2(x - 2)(x + 1) = Ax - 1 + B(x - 1)^2 + Cx - 2 + Dx + 1
Nosso objetivo é encontrar os valores de , , e .

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados pela expressão denominadora para eliminar as frações:
x^3 + x^2 - 8 = A(x - 1)(x - 2)(x + 1) + B(x - 2)(x + 1) + C(x - 1)^2(x + 1) + D(x - 1)^2(x - 2)
Agora, vamos encontrar os valores de , , e substituindo valores estratégicos de .

Passo 6

Encontrando 1 + 1 - 8 = A(0) + B(-1)(2) + C(0) + D(0) Rightarrow -6 = -2B Rightarrow B = 3 : Escolhemos 8 + 4 - 8 = A(1)(0)(3) + B(0) + C(1)(3) + D(1)(0) Rightarrow 4 = 3C Rightarrow C = 43 :
-1 + 1 - 8 = A(-2)(-3)(0) + B(-3)(0) + C(4)(0) + D(4)(-3) Rightarrow -8 = -12D Rightarrow D = 23
Encontrando 0 + 0 - 8 = A(-1)(-2)(1) + B(-2)(1) + C(1)(1) + D(1)(-2) : Escolhemos -8 = 2A - 2B + C - 2D :
-8 = 2A - 6 + 43 - 43 Rightarrow -8 = 2A - 6 Rightarrow 2A = -2 Rightarrow A = -1
Encontrando : Escolhemos :
Encontrando : Podemos escolher outro valor, como :
Substituindo , , :

Passo 7

Agora que temos os valores:
A = -1, B = 3, C = 43, D = 23
A fração original fica:
x^3 + x^2 - 8(x - 1)^2(x - 2)(x + 1) = -1x - 1 + 3(x - 1)^2 + 43x - 2 + 23x + 1

Passo 8

Vamos simplificar antes de integrar:
= -1x - 1 + 3(x - 1)^2 + 43(x - 2) + 23(x + 1)
Agora, integramos cada termo separadamente.

Passo 9

Integrando termo a termo:
integral ( -1x - 1 + 3(x - 1)^2 + 43(x - 2) + 23(x + 1) ) dx
Usamos as integrais básicas:
integral 1x - a dx = ln|x - a| + C
integral 1(x - a)^2 dx = -1x - a + C
Aplicando isso aos nossos termos:
- ln|x - 1| - 3x - 1 + 43 ln|x - 2| + 23 ln|x + 1| + C

Resposta

A integral vale:
- ln|x - 1| - 3x - 1 + 43 ln|x - 2| + 23 ln|x + 1| + C
onde é a constante de integração.

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