Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(o)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral . O que precisamos aqui é usar frações parciais, que é uma técnica para integrar frações racionais (quando o numerador e o denominador são polinômios). Então, vamos precisar fatorar o denominador e dividir a fração em partes mais simples que a gente sabe integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Às vezes, dá para agrupar os termos:
Então, podemos reescrever a integral como:

Passo 3

Agora, vamos usar frações parciais. Queremos expressar como a soma de duas frações mais simples:
Aqui, , e são constantes que vamos encontrar.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores, temos:
Vamos expandir o lado direito:
Agrupando termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos polinômios:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar , e .

Passo 6

Da primeira equação, temos . Substituindo isso na segunda equação:
Agora, substituímos na terceira equação:
Então, e .

Passo 7

Agora que temos os valores de , e , colocamos de volta na decomposição das frações parciais:

Passo 8

Vamos agora integrar cada termo separadamente:
A primeira integral é direta:
Para a segunda integral, podemos separar:
A primeira parte é uma integral logarítmica, e a segunda é uma integral arctangente.

Passo 9

Calculando as integrais:
Então, juntando tudo:
onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:

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