Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(o) integral 3 x-7x^3+x^2+4 x+4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral . O que precisamos aqui é usar frações parciais, que é uma técnica para integrar frações racionais (quando o numerador e o denominador são polinômios). Então, vamos precisar fatorar o denominador e dividir a fração em partes mais simples que a gente sabe integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3 + x^2 + 4x + 4 = x^2(x + 1) + 4(x + 1) = (x^2 + 4)(x + 1) . Às vezes, dá para agrupar os termos:
integral 3x - 7(x + 1)(x^2 + 4) , dx
Então, podemos reescrever a integral como:

Passo 3

Agora, vamos usar frações parciais. Queremos expressar 3x - 7(x + 1)(x^2 + 4) = Ax + 1 + Bx + Cx^2 + 4 como a soma de duas frações mais simples:
Aqui, , e são constantes que vamos encontrar.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados da equação por 3x - 7 = A(x^2 + 4) + (Bx + C)(x + 1) para eliminar os denominadores, temos:
3x - 7 = A x^2 + 4A + Bx^2 + Bx + Cx + C
Vamos expandir o lado direito:
3x - 7 = (A + B) x^2 + (B + C) x + (4A + C)
Agrupando termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos polinômios:
A + B = 0 & (coeficiente de x^2) B + C = 3 & (coeficiente de x) 4A + C = -7 & (termo independente)
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar , e .

Passo 6

Da primeira equação, temos -A + C = 3 Rightarrow C = A + 3 . Substituindo isso na segunda equação:
4A + (A + 3) = -7 Rightarrow 5A + 3 = -7 Rightarrow 5A = -10 Rightarrow A = -2
Agora, substituímos na terceira equação:
Então, e .

Passo 7

Agora que temos os valores de 3x - 7(x + 1)(x^2 + 4) = -2x + 1 + 2x + 1x^2 + 4 , e , colocamos de volta na decomposição das frações parciais:

Passo 8

Vamos agora integrar cada termo separadamente:
integral -2x + 1 , dx + integral 2x + 1x^2 + 4 , dx
A primeira integral é direta:
-2 integral 1x + 1 , dx = -2 ln|x + 1|
Para a segunda integral, podemos separar:
integral 2xx^2 + 4 , dx + integral 1x^2 + 4 , dx
A primeira parte é uma integral logarítmica, e a segunda é uma integral arctangente.

Passo 9

Calculando as integrais:
integral 2xx^2 + 4 , dx = ln|x^2 + 4|
integral 1x^2 + 4 , dx = 12 arctan(x2)
Então, juntando tudo:
-2 ln|x + 1| + ln|x^2 + 4| + 12 arctan(x2) + C
onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:
-2 ln|x + 1| + ln|x^2 + 4| + 12 arctan(x2) + C

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