Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(o)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral . O que precisamos aqui é usar frações parciais, que é uma técnica para integrar frações racionais (quando o numerador e o denominador são polinômios). Então, vamos precisar fatorar o denominador e dividir a fração em partes mais simples que a gente sabe integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador . Às vezes, dá para agrupar os termos:
Então, podemos reescrever a integral como:
Passo 3
Agora, vamos usar frações parciais. Queremos expressar como a soma de duas frações mais simples:
Aqui, , e são constantes que vamos encontrar.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores, temos:
Vamos expandir o lado direito:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos polinômios:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar , e .
Passo 6
Da primeira equação, temos . Substituindo isso na segunda equação:
Agora, substituímos na terceira equação:
Então, e .
Passo 7
Agora que temos os valores de , e , colocamos de volta na decomposição das frações parciais:
Passo 8
Vamos agora integrar cada termo separadamente:
A primeira integral é direta:
Para a segunda integral, podemos separar:
A primeira parte é uma integral logarítmica, e a segunda é uma integral arctangente.