Encontrar a primitiva F para a função f dada a seguir, satisfazendo a condição dada:
(d) f(x) = x * e^(x^2) e F(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de encontrar a primitiva da função , sabendo que . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente encontrando uma antiderivada. Para isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que está sendo integrada: . A ideia é encontrar uma função cuja derivada seja .

Passo 3

Vamos usar a substituição para facilitar a integração. Observamos que o expoente tem uma derivada que aparece multiplicando no coeficiente: a derivada de é . Isso sugere a substituição:

Passo 4

Agora, calculamos a derivada de em relação a :

Passo 5

Substituímos na integral original usando e :

Passo 6

Integrando em relação a , temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, voltamos à variável original substituindo :

Passo 8

Usamos a condição inicial para encontrar o valor de :

Resposta

A primitiva que satisfaz as condições dadas é:

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