Encontrar a primitiva
para a função
dada a seguir, satisfazendo a condição dada:
(d)
e
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de encontrar a primitiva
da função
, sabendo que
. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente encontrando uma antiderivada. Para isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que está sendo integrada:
. A ideia é encontrar uma função
cuja derivada seja
.
Passo 3
Vamos usar a substituição para facilitar a integração. Observamos que o expoente
tem uma derivada que aparece multiplicando no coeficiente: a derivada de
é
. Isso sugere a substituição:
Passo 4
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Substituímos na integral original usando
e
:
Passo 6
Integrando
em relação a
, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, voltamos à variável original substituindo
:
Passo 8
Usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Resposta
A primitiva
que satisfaz as condições dadas é: