Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por partes:
(j) integral x e^-x d x

Passo 1

Entendendo o problema:
Precisamos calcular a integral indefinida de integral u , dv = uv - integral v , du em relação a . Vamos usar a técnica de integração por partes, que é uma ferramenta útil quando temos o produto de duas funções. Para isso, vamos lembrar que a fórmula da integração por partes é:
Aqui, precisamos identificar quais partes da nossa função serão e .

Passo 2

Escolhendo u = x Rightarrow du = dx e dv = e^-x dx Rightarrow v = integral e^-x dx = -e^-x :
Na integração por partes, geralmente escolhemos como a parte que simplifica quando derivada, e como a parte que é fácil de integrar. Então, vamos definir:

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Agora que temos integral x e^-x dx = u cdot v - integral v cdot du , = x cdot (-e^-x) - integral (-e^-x) cdot dx , = -x e^-x + integral e^-x dx e , vamos substituir na fórmula:
Substituindo os valores:

Passo 4

Calculando a integral restante:
Agora precisamos calcular integral e^-x dx = -e^-x + C , que é uma integral básica:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Montando a solução completa:
Substituindo de volta na expressão que tínhamos:
integral x e^-x dx = -x e^-x + (-e^-x) + C
Podemos simplificar:
= -x e^-x - e^-x + C
= -e^-x(x + 1) + C

Resposta

A integral indefinida de integral x e^-x dx = -e^-x(x + 1) + C é:

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