Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por partes:
(j)

Passo 1

Entendendo o problema:
Precisamos calcular a integral indefinida de em relação a . Vamos usar a técnica de integração por partes, que é uma ferramenta útil quando temos o produto de duas funções. Para isso, vamos lembrar que a fórmula da integração por partes é:
Aqui, precisamos identificar quais partes da nossa função serão e .

Passo 2

Escolhendo e :
Na integração por partes, geralmente escolhemos como a parte que simplifica quando derivada, e como a parte que é fácil de integrar. Então, vamos definir:

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Agora que temos , , e , vamos substituir na fórmula:
Substituindo os valores:

Passo 4

Calculando a integral restante:
Agora precisamos calcular , que é uma integral básica:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Montando a solução completa:
Substituindo de volta na expressão que tínhamos:
Podemos simplificar:

Resposta

A integral indefinida de é:

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(e)
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(w)
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(e)
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(h)