Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por partes:
(j)
(j)
Passo 1
Entendendo o problema:
Precisamos calcular a integral indefinida de em relação a
. Vamos usar a técnica de integração por partes, que é uma ferramenta útil quando temos o produto de duas funções. Para isso, vamos lembrar que a fórmula da integração por partes é:
Precisamos calcular a integral indefinida de
Aqui, precisamos identificar quais partes da nossa função
serão
e
.
Passo 2
Escolhendo
e
:
Na integração por partes, geralmente escolhemos como a parte que simplifica quando derivada, e
como a parte que é fácil de integrar. Então, vamos definir:
Na integração por partes, geralmente escolhemos
Passo 3
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Agora que temos ,
,
e
, vamos substituir na fórmula:
Agora que temos
Substituindo os valores:
Passo 4
Calculando a integral restante:
Agora precisamos calcular , que é uma integral básica:
Agora precisamos calcular
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Montando a solução completa:
Substituindo de volta na expressão que tínhamos:
Substituindo de volta na expressão que tínhamos:
Podemos simplificar:
Resposta
A integral indefinida de
é:
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(e)
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(w)
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(e)
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(h)
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