Encontrar a primitiva
para a função
dada a seguir, satisfazendo a condição dada:
(e)
e
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a primitiva
da função
que satisfaz a condição
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente usando a técnica de integração por partes. Vamos precisar entender como escolher as partes certas para aplicar essa técnica e depois ajustar a constante usando a condição dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma primitiva. Encontrar
tal que
é o mesmo que calcular a integral indefinida de
. Então, queremos calcular:
Passo 3
Para resolver essa integral, vamos usar a integração por partes, que é baseada na fórmula:
Aqui, precisamos escolher
e
de forma que a integral fique mais simples. Geralmente, escolhemos
como a função que fica mais simples quando derivada, e
como o que é fácil de integrar.
Passo 4
Vamos escolher:
Agora, precisamos encontrar
e
:
Passo 5
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Simplificando a segunda integral:
Passo 6
Agora, vamos integrar
:
Substituindo de volta:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, usamos a condição dada
para encontrar
. Substituindo
na expressão de
:
Sabemos que
, então:
Resposta
A primitiva
é:
Exercícios relacionados
Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
®
®
Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(k)
(k)
Encontrar a função
tal que:
© e
©
A equação da reta tangente a uma curva no ponto
é
. Sabendo que em um ponto
qualquer da curva
(
constante), encontrar a equação dessa curva.