Encontrar a primitiva para a função dada a seguir, satisfazendo a condição dada:
(e) e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a primitiva da função que satisfaz a condição . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente usando a técnica de integração por partes. Vamos precisar entender como escolher as partes certas para aplicar essa técnica e depois ajustar a constante usando a condição dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma primitiva. Encontrar tal que é o mesmo que calcular a integral indefinida de . Então, queremos calcular:

Passo 3

Para resolver essa integral, vamos usar a integração por partes, que é baseada na fórmula:
Aqui, precisamos escolher e de forma que a integral fique mais simples. Geralmente, escolhemos como a função que fica mais simples quando derivada, e como o que é fácil de integrar.

Passo 4

Vamos escolher:
Agora, precisamos encontrar e :

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Simplificando a segunda integral:

Passo 6

Agora, vamos integrar :
Substituindo de volta:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, usamos a condição dada para encontrar . Substituindo na expressão de :
Sabemos que , então:

Resposta

A primitiva é:

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Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
®
Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(k)
Encontrar a função tal que:
© e
A equação da reta tangente a uma curva no ponto é . Sabendo que em um ponto qualquer da curva ( constante), encontrar a equação dessa curva.