Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(s)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . A matéria envolvida aqui é cálculo integral, mais especificamente a técnica de frações parciais. Para resolver essa integral, vamos precisar fatorar o denominador e expressar a fração em termos mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador . A ideia é fatorar esse polinômio para facilitar a decomposição em frações parciais. Observando, percebemos que:
Então, o denominador fatorado é . Mas podemos fatorar mais:
Então, o denominador totalmente fatorado é:

Passo 3

Agora que temos o denominador fatorado, vamos expressar a fração original como uma soma de frações parciais. Para isso, assumimos que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , , e .

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Agora, vamos escolher valores de que simplifiquem a equação para encontrar os valores de e .

Passo 5

Primeiro, vamos escolher :
Agora, escolhemos :

Passo 6

Agora que temos e , precisamos encontrar e . Para isso, podemos expandir a equação e comparar os coeficientes dos termos semelhantes.
Expandindo o lado direito:
Somando tudo:
Substituindo e :
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Coeficiente de :
Coeficiente de :
Coeficiente de :
Constante:
Resolvendo o sistema:
Somando 1 e 2:
Substituindo em 1:

Passo 7

Agora que temos todos os valores:
Então, a decomposição em frações parciais fica:

Passo 8

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:

Resposta

Portanto, a integral resolvida é:
Onde é a constante de integração.

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(n)
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(j)
Encontrar a primitiva para a função dada a seguir, satisfazendo a condição dada:
© e
Encontrar a função tal que:
(a) e