Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(s) integral x^3-8 x+3x^4-2 x^2+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . A matéria envolvida aqui é cálculo integral, mais especificamente a técnica de frações parciais. Para resolver essa integral, vamos precisar fatorar o denominador e expressar a fração em termos mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador x^4 - 2x^2 + 1 = (x^2)^2 - 2x^2 + 1 = (x^2 - 1)^2 . A ideia é fatorar esse polinômio para facilitar a decomposição em frações parciais. Observando, percebemos que:
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
Então, o denominador fatorado é (x - 1)^2(x + 1)^2 . Mas podemos fatorar mais:
Então, o denominador totalmente fatorado é:

Passo 3

Agora que temos o denominador fatorado, vamos expressar a fração original como uma soma de frações parciais. Para isso, assumimos que:
x^3 - 8x + 3(x - 1)^2(x + 1)^2 = Ax - 1 + B(x - 1)^2 + Cx + 1 + D(x + 1)^2
Nosso objetivo é encontrar os valores de , , e .

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por x^3 - 8x + 3 = A(x - 1)(x + 1)^2 + B(x + 1)^2 + C(x + 1)(x - 1)^2 + D(x - 1)^2 para eliminar os denominadores:
Agora, vamos escolher valores de que simplifiquem a equação para encontrar os valores de e .

Passo 5

Primeiro, vamos escolher 1^3 - 8(1) + 3 = A(0) + B(2)^2 + C(2)(0) + D(0) :
1 - 8 + 3 = 4B
-4 = 4B Rightarrow B = -1
(-1)^3 - 8(-1) + 3 = A( -2)(0) + B(0) + C(0) + D(4)
Agora, escolhemos -1 + 8 + 3 = 4D :
10 = 4D Rightarrow D = 104 = 52

Passo 6

Agora que temos A(x - 1)(x + 1)^2 = A(x - 1)(x^2 + 2x + 1) = A(x^3 + 2x^2 + x - x^2 - 2x - 1) = A(x^3 + x^2 - x - 1) e C(x + 1)(x - 1)^2 = C(x + 1)(x^2 - 2x + 1) = C(x^3 - 2x^2 + x + x^2 - 2x +1) = C(x^3 - x^2 - x +1) , precisamos encontrar A(x^3 + x^2 - x - 1) + B(x + 1)^2 + C(x^3 - x^2 - x +1) + D(x - 1)^2 = x^3 - 8x + 3 e A(x^3 + x^2 - x - 1) - (x^2 + 2x +1) + C(x^3 - x^2 - x +1) + 52(x^2 - 2x +1) = x^3 - 8x + 3 . Para isso, podemos expandir a equação e comparar os coeficientes dos termos semelhantes.
Expandindo o lado direito:
Somando tudo:
Substituindo e :
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Coeficiente de :
Coeficiente de :
Coeficiente de :
Constante:
Resolvendo o sistema:
Somando 1 e 2:
Substituindo em 1:

Passo 7

Agora que temos todos os valores:
A = -34, B = -1, C = 74, D = 52
Então, a decomposição em frações parciais fica:
x^3 - 8x + 3(x - 1)^2(x + 1)^2 = -34x - 1 + -1(x - 1)^2 + 74x + 1 + 52(x + 1)^2

Passo 8

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral -34x - 1 , dx = -34 ln|x - 1|
integral -1(x - 1)^2 , dx = 1x - 1
integral 74x + 1 , dx = 74 ln|x + 1|
integral 52(x + 1)^2 , dx = -52(x + 1)

Resposta

Portanto, a integral resolvida é:
integral x^3-8 x+3x^4-2 x^2+1 , dx = -34 ln|x - 1| + 1x - 1 + 74 ln|x + 1| - 52(x + 1) + C
Onde é a constante de integração.

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