Encontrar a primitiva F para a função f dada a seguir, satisfazendo a condição dada:
© f(x) = x^3 cos(x^2) e F(0)=3/2

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar uma primitiva para a função que satisfaz a condição . Basicamente, vamos integrar a função para achar e depois usar a condição dada para encontrar a constante de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função . A integração de funções que têm produtos de polinômios e funções trigonométricas geralmente requer o uso da técnica de substituição.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja . Assim, a derivada de em relação a é , ou seja, .

Passo 4

Observando a integral, temos . Sabemos que , então podemos substituir na integral:

Passo 5

Como , substituímos por na integral:

Passo 6

Agora, precisamos integrar . Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos e . Assim:
A fórmula de integração por partes é , aplicando isso:

Passo 7

Voltando à nossa integral original:
Substituindo :

Passo 8

Agora, usamos a condição para encontrar a constante . Substituindo na equação de :
Igualando a :

Resposta

A primitiva procurada é:

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