Encontrar a primitiva
para a função
dada a seguir, satisfazendo a condição dada:
©
e
©
Passo 1
Então, a gente tem que encontrar uma primitiva
para a função
que satisfaz a condição
. Basicamente, vamos integrar a função
para achar
e depois usar a condição dada para encontrar a constante de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a função
. A integração de funções que têm produtos de polinômios e funções trigonométricas geralmente requer o uso da técnica de substituição.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja
. Assim, a derivada de
em relação a
é
, ou seja,
.
Passo 4
Observando a integral, temos
. Sabemos que
, então podemos substituir na integral:
Passo 5
Como
, substituímos
por
na integral:
Passo 6
Agora, precisamos integrar
. Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos
e
. Assim:
A fórmula de integração por partes é
, aplicando isso:
Passo 7
Voltando à nossa integral original:
Substituindo
:
Passo 8
Agora, usamos a condição
para encontrar a constante
. Substituindo
na equação de
:
Igualando a
:
Resposta
A primitiva procurada é: