Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por partes:
(e) integral x^3 sen x d x

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida de . Para isso, vamos usar o conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente a técnica de integração por partes. Essa técnica é útil quando a integral é o produto de duas funções mais simples.

Passo 2

A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Primeiro, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u = x^3 e dv = sen x , dx e . Vamos escolher:

Passo 3

Agora, vamos derivar du = 3x^2 , dx e integrar v = -cos x :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x^3 sen x , dx = uv - integral v , du
= x^3 (-cos x) - integral (-cos x) cdot 3x^2 , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral u = x^2 e dv = cos x , dx usando novamente a integração por partes. Vamos escolher:

Passo 6

Derivando du = 2x , dx e integrando v = sen x :

Passo 7

Aplicando a fórmula:

Passo 8

Agora, vamos resolver a integral usando mais uma vez a integração por partes. Escolhemos:

Passo 9

Derivando du = dx e integrando v = -cos x :

Passo 10

Aplicando a fórmula:
integral x sen x , dx = uv - integral v , du
= x (-cos x) - integral (-cos x) , dx

Passo 11

Voltando para a integral anterior:

Passo 12

Substituindo de volta na integral original:

Resposta

A integral de é:

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