Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:
(t) integral sen^5(x)cos ^7(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida que você me passou:
Aqui, estamos lidando com integração utilizando a técnica de substituição, que faz parte do estudo de Cálculo Integral. Para resolver, vamos precisar manipular as funções trigonométricas e aplicar a substituição adequada para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral de uma forma que facilite a substituição. Sabemos que pode ser escrito como . Além disso, podemos usar a identidade trigonométrica para simplificar.
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = cos(x)
Então, a derivada de dudx = -sen(x) Rightarrow sin(x) , dx = -du em relação a integral (1 - u^2)^2 cdot (-du)u^7 = -integral (1 - 2u^2 + u^4)u^7 , du é:
Substituindo na integral, ficamos com:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
-integral ( u^-7 - 2u^-5 + u^-3 ) , du
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral u^-7 , du = u^-6-6 = -16u^-6
integral -2u^-5 , du = -2 cdot u^-4-4 = 12u^-4
integral u^-3 , du = u^-2-2 = -12u^-2
Somando todos os termos:
-( -16u^-6 + 12u^-4 - 12u^-2 ) + C = 16u^-6 - 12u^-4 + 12u^-2 + C

Passo 5

Agora, substituímos 16 cdot 1cos^6(x) - 12 cdot 1cos^4(x) + 12 cdot 1cos^2(x) + C de volta por 16 sec^6(x) - 12 sec^4(x) + 12 sec^2(x) + C :
Simplificando, podemos escrever usando a função secante:

Resposta

A integral indefinida é:

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