Encontrar a função f tal que:
(a) integral(x^3-4 x) cdot f^prime(x) d x=x^2+c e f(0)=-2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a função que satisfaz a equação e a condição inicial . Aqui, estamos lidando com integrais e derivadas, então vamos precisar usar cálculo, especificamente integração e diferenciação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação dada:
integral(x^3-4 x) cdot f^prime(x) , dx = x^2 + c
Queremos isolar (x^3 - 4x) cdot f'(x) = ddx(x^2 + c) . Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a ddx(x^2 + c) = 2x . Lembrando que a derivada da integral de uma função é a própria função, temos:
(x^3 - 4x) cdot f'(x) = 2x
Calculando a derivada do lado direito:
Assim, a equação fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver para f'(x) = 2xx^3 - 4x :
x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2)
Podemos simplificar o denominador fatorando:
f'(x) = 2xx(x - 2)(x + 2) = 2(x - 2)(x + 2) = 2x^2 - 4
Então,

Passo 4

Para encontrar f(x) = integral 2x^2 - 4 , dx + C , precisamos integrar integral 1x^2 - a^2 , dx = 12a ln| x - ax + a | + C :
f(x) = 22 cdot 2 ln| x - 2x + 2 | + C = 12 ln| x - 2x + 2 | + C
Sabemos que:
No nosso caso, , então:

Passo 5

Agora usamos a condição inicial f(0) = 12 ln| 0 - 20 + 2 | + C = 12 ln| -22 | + C = 12 ln(1) + C = 0 + C para encontrar o valor de :
Portanto, .

Resposta

A função f(x) = 12 ln( x - 2x + 2 ) - 2 é dada por:

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