Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a função que satisfaz a equação e a condição inicial . Aqui, estamos lidando com integrais e derivadas, então vamos precisar usar cálculo, especificamente integração e diferenciação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação dada:
Queremos isolar . Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembrando que a derivada da integral de uma função é a própria função, temos:
Calculando a derivada do lado direito:
Assim, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver para :
Podemos simplificar o denominador fatorando:
Então,
Passo 4
Para encontrar , precisamos integrar :
Sabemos que:
No nosso caso, , então:
Passo 5
Agora usamos a condição inicial f(0) = 12 ln| 0 - 20 + 2 | + C = 12 ln| -22 | + C = 12 ln(1) + C = 0 + C para encontrar o valor de :
Portanto, .
Resposta
A função f(x) = 12 ln( x - 2x + 2 ) - 2 é dada por: