Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por partes:
© integral arcsen x d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral indefinida de em relação a . A matéria que vamos usar aqui é a integração por partes, que é uma técnica útil quando a integral é o produto de duas funções. Para aplicar essa técnica, precisamos identificar qual parte da integral vamos chamar de e qual de .

Passo 2

Primeiro, escolhemos . Agora, precisamos derivar du = 1raiz1 - x^2 , dx para encontrar . A derivada de é , então:

Passo 3

Em seguida, o que sobra da integral vai ser nosso dv = dx . Como a integral original é e já escolhemos v = integral dv = integral dx = x , temos:
Agora, vamos integrar para encontrar :

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral w = 1 - x^2 . Para isso, fazemos uma substituição. Vamos deixar:
dw = -2x , dx Rightarrow -12 dw = x , dx
Então, derivando ambos os lados:
integral xraiz1 - x^2 , dx = -12 integral dwraizw = -12 cdot 2raizw + C = -raiz1 - x^2 + C
Substituindo na integral:

Passo 6

Voltando à expressão anterior:

Resposta

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