Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:
(s) integral arctg^2 x1+x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida que é integral arctg^2 x1+x^2 , dx. O conteúdo aqui envolve cálculo integral, especificamente a técnica de substituição. Para resolver isso, a gente vai precisar identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a integral. Observando a integral integral arctg^2 x1+x^2 , dx, percebemos que a função arctg x está elevada ao quadrado e multiplicada por 11+x^2. Isso sugere que podemos escolher u = arctg x.

Passo 3

Com u = arctg x, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx. A derivada de arctg x é 11+x^2, ou seja, du = 11+x^2 , dx. Isso significa que 11+x^2 , dx pode ser substituído por du.

Passo 4

Agora, substituindo na integral original, temos:
integral arctg^2 x1+x^2 , dx = integral u^2 , du
Isso simplifica bastante a integral, transformando-a em algo mais fácil de calcular.

Passo 5

A integral integral u^2 , du é uma integral básica. Integrando u^2 em relação a u, temos:
integral u^2 , du = u^33 + C
Aqui, C é a constante de integração que sempre adicionamos nas integrais indefinidas.

Passo 6

Finalmente, substituímos u de volta pela expressão original, que é arctg x. Assim, a solução fica:
(arctg x)^33 + C

Resposta

A integral é igual a dfrac,(arctg x,)^33 + C.

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