Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:
(v) integral arccos x-xraiz1-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que você mandou: . A gente vai usar a técnica de substituição, que é bem útil para simplificar integrais complicadas. Vamos precisar conhecer um pouco sobre funções trigonométricas e como fazer substituições inteligentes para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral arccos xraiz1 - x^2 , dx - integral xraiz1 - x^2 , dx
Agora, vamos resolver cada uma delas separadamente.

Passo 3

Vamos começar com a primeira parte: dt = -1raiz1 - x^2 , dx Rightarrow dx = -raiz1 - x^2 , dt . Aqui, vamos fazer uma substituição inteligente. Vamos deixar . Assim, precisamos encontrar em termos de :

Passo 4

Substituindo integral traiz1 - x^2 cdot (-raiz1 - x^2) , dt = -integral t , dt e na integral, temos:
Isso simplifica bastante!

Passo 5

Agora, basta integrar - integral t , dt = -t^22 + C em relação a - (arccos x)^22 + C :
Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 6

Vamos agora resolver a segunda parte da integral original: . Essa integral é mais direta. Podemos usar uma substituição simples aqui.

Passo 7

Deixe - integral xraiz1 - x^2 , dx = - integral 1raizu cdot (-12 du) = 12 integral u^-1/2 , du , então . Rearranjando, temos . Substituindo na integral:

Passo 8

Integrando 12 cdot 2u^1/2 + C = raizu + C :
raiz1 - x^2 + C
Voltando para :

Resposta

Juntando as duas partes que resolvemos, a integral original fica:
integral arccos x - xraiz1 - x^2 , dx = -(arccos x)^22 + raiz1 - x^2 + C

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