Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:
(o) integral 1cos ^2 x raiztg x-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente precisa calcular a integral indefinida de . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente de integrais e técnicas de substituição. Vamos precisar usar a substituição para simplificar essa integral complicada.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que facilite a integral. Olhando para a expressão , podemos pensar em definir . Isso vai simplificar a raiz quadrada na integral.

Passo 3

Vamos derivar u = tan x - 1 dudx = sec^2 x em relação a para encontrarmos . Temos:
Então, .

Passo 4

Agora, observamos que na integral original temos integral 1cos^2 x raiztan x - 1 , dx = integral sec^2 xraizu , dx . Sabemos que integral duraizu . Então, podemos reescrever a integral em termos de :
Mas já sabemos que , então substituindo:

Passo 5

Agora a integral está muito mais simples: . Vamos resolver essa integral. Lembre-se que , onde é a constante de integração.

Passo 6

Aplicando a regra, temos:
2u^1/2 + C
Agora, substituímos 2raiztan x - 1 + C de volta pela expressão original em termos de :

Resposta

A integral indefinida é .

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