Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:
(f) integral ln ^9(x)x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui a gente vai trabalhar com cálculo integral, especificamente usando a técnica de substituição. Vamos precisar identificar uma parte da integral que podemos substituir para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função logaritmo natural, , tem a derivada . Isso é importante porque na integral temos multiplicando , o que sugere uma boa substituição.

Passo 3

Vamos fazer a substituição du = 1x dx . Agora, precisamos encontrar :
Observa que , então podemos reescrever a integral em termos de .

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integral ln^9(x)x , dx = integral u^9 , du
Isso simplifica bastante a integral!

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^9 , du = u^1010 + C em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original substituindo (ln(x))^1010 + C :

Resposta

integral ln^9(x)x , dx = (ln(x))^1010 + C

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