Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:
§ integral cos xraiz2 sen x+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida usando a técnica de substituição. O enunciado é:
integral cos xraiz2 sin x + 1 , dx
Aqui, estamos lidando com integrais que envolvem funções trigonométricas e raízes. Vamos precisar usar a substituição para simplificar essa expressão e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável para simplificar. Observando o denominador, temos u = 2 sin x + 1 . Vamos chamar essa expressão de . Então:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de dudx = 2 cos x em relação a du = 2 cos x , dx para encontrar . Derivando ambos os lados:
Isso significa que:

Passo 4

Observando a nossa integral original, temos cos x , dx = du2 . Podemos resolver para a partir da expressão de :

Passo 5

Agora, vamos substituir integral cos xraiz2 sin x + 1 , dx = integral du2raizu = 12 integral u^-1/2 , du e na integral original:

Passo 6

A integral integral u^n , du = u^n+1n+1 + C (para n neq -1) é uma potência simples da função 12 integral u^-1/2 , du = 12 cdot u^1/21/2 + C = u^1/2 + C . Sabemos que:
Aqui, , então:

Passo 7

Agora, vamos substituir u^1/2 + C = raiz2 sin x + 1 + C de volta à expressão original:

Resposta

A integral indefinida é:
integral cos xraiz2 sin x + 1 , dx = raiz2 sin x + 1 + C

Exercícios relacionados