Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:
(w)
(w)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral indefinida:
Vamos usar a técnica de substituição, mas antes disso, precisamos simplificar essa fração. Para isso, vamos precisar de divisão polinomial e, possivelmente, frações parciais.
Passo 2
Primeiro, observamos que o grau do numerador (
) é maior que o do denominador (
). Isso significa que precisamos fazer uma divisão polinomial para simplificar a expressão.
Vamos dividir
por
.
Passo 3
Vamos realizar a divisão:
-
Dividimos o termo de maior grau do numerador pelo termo de maior grau do denominador:
-
Multiplicamos o divisor (
) por : -
Subtraímos esse resultado do numerador original:
Agora, temos:
Passo 4
Ainda temos uma fração onde o grau do numerador (
) é igual ao do denominador (
). Vamos continuar a divisão:
-
Dividimos o termo de maior grau do novo numerador pelo termo de maior grau do denominador:
-
Multiplicamos o divisor (
) por : -
Subtraímos esse resultado do numerador atual:
Então, a divisão completa fica:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a fração restante:
Para integrar essa parte, vamos usar frações parciais. Queremos expressar
como a soma de frações mais simples.
Passo 6
Vamos escrever:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Agora, vamos resolver para
e
.
Passo 7
Expandindo a equação:
Comparando os coeficientes dos termos semelhantes:
Resolvendo o sistema:
- Da primeira equação:
- Substituindo na segunda equação:
- Encontrando
:
Portanto, temos:
Passo 8
Agora, vamos substituir tudo de volta na integral original:
Vamos integrar termo a termo:
Resposta
Juntando tudo, a integral indefinida é:
Onde
é a constante de integração.
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