Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:
(w)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral indefinida:
Vamos usar a técnica de substituição, mas antes disso, precisamos simplificar essa fração. Para isso, vamos precisar de divisão polinomial e, possivelmente, frações parciais.

Passo 2

Primeiro, observamos que o grau do numerador ( ) é maior que o do denominador ( ). Isso significa que precisamos fazer uma divisão polinomial para simplificar a expressão.
Vamos dividir por .

Passo 3

Vamos realizar a divisão:
  1. Dividimos o termo de maior grau do numerador pelo termo de maior grau do denominador:
  2. Multiplicamos o divisor ( ) por :
  3. Subtraímos esse resultado do numerador original:
Agora, temos:

Passo 4

Ainda temos uma fração onde o grau do numerador ( ) é igual ao do denominador ( ). Vamos continuar a divisão:
  1. Dividimos o termo de maior grau do novo numerador pelo termo de maior grau do denominador:
  2. Multiplicamos o divisor ( ) por :
  3. Subtraímos esse resultado do numerador atual:
Então, a divisão completa fica:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a fração restante:
Para integrar essa parte, vamos usar frações parciais. Queremos expressar como a soma de frações mais simples.

Passo 6

Vamos escrever:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Agora, vamos resolver para e .

Passo 7

Expandindo a equação:
Comparando os coeficientes dos termos semelhantes:
Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação:
  2. Substituindo na segunda equação:
  1. Encontrando :
Portanto, temos:

Passo 8

Agora, vamos substituir tudo de volta na integral original:
Vamos integrar termo a termo:

Resposta

Juntando tudo, a integral indefinida é:
Onde é a constante de integração.

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