Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:
(w) integral x^3-4(x+2)(x-1) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral indefinida:
integral x^3-4(x+2)(x-1) , dx
Vamos usar a técnica de substituição, mas antes disso, precisamos simplificar essa fração. Para isso, vamos precisar de divisão polinomial e, possivelmente, frações parciais.

Passo 2

Primeiro, observamos que o grau do numerador ( x^3) é maior que o do denominador ( x^2). Isso significa que precisamos fazer uma divisão polinomial para simplificar a expressão.
Vamos dividir x^3 - 4 por (x+2)(x-1) = x^2 + x - 2.

Passo 3

Vamos realizar a divisão:
  1. Dividimos o termo de maior grau do numerador pelo termo de maior grau do denominador:
    x^3x^2 = x
  2. Multiplicamos o divisor ( x^2 + x - 2) por x:
    x cdot (x^2 + x - 2) = x^3 + x^2 - 2x
  3. Subtraímos esse resultado do numerador original:
    (x^3 - 4) - (x^3 + x^2 - 2x) = -x^2 + 2x - 4
Agora, temos:
x^3-4(x+2)(x-1) = x + -x^2 + 2x - 4x^2 + x - 2

Passo 4

Ainda temos uma fração onde o grau do numerador ( x^2) é igual ao do denominador ( x^2). Vamos continuar a divisão:
  1. Dividimos o termo de maior grau do novo numerador pelo termo de maior grau do denominador:
    -x^2x^2 = -1
  2. Multiplicamos o divisor ( x^2 + x - 2) por -1:
    -1 cdot (x^2 + x - 2) = -x^2 - x + 2
  3. Subtraímos esse resultado do numerador atual:
    (-x^2 + 2x - 4) - (-x^2 - x + 2) = 3x - 6
Então, a divisão completa fica:
x^3-4(x+2)(x-1) = x - 1 + 3x - 6x^2 + x - 2

Passo 5

Agora, vamos simplificar a fração restante:
3x - 6x^2 + x - 2 = 3(x - 2)(x + 2)(x - 1)
Para integrar essa parte, vamos usar frações parciais. Queremos expressar 3(x - 2)(x + 2)(x - 1) como a soma de frações mais simples.

Passo 6

Vamos escrever:
3(x - 2)(x + 2)(x - 1) = Ax + 2 + Bx - 1
Multiplicando ambos os lados por (x + 2)(x - 1) para eliminar os denominadores:
3(x - 2) = A(x - 1) + B(x + 2)
Agora, vamos resolver para A e B.

Passo 7

Expandindo a equação:
3x - 6 = A x - A + B x + 2B = (A + B)x + (-A + 2B)
Comparando os coeficientes dos termos semelhantes:
A + B = 3 -A + 2B = -6
Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação: A = 3 - B
  2. Substituindo na segunda equação:
-(3 - B) + 2B = -6 -3 + B + 2B = -6 3B = -3 B = -1
  1. Encontrando A:
A = 3 - (-1) = 4
Portanto, temos:
3(x - 2)(x + 2)(x - 1) = 4x + 2 - 1x - 1

Passo 8

Agora, vamos substituir tudo de volta na integral original:
integral x^3-4(x+2)(x-1) , dx = integral ( x - 1 + 4x + 2 - 1x - 1 ) dx
Vamos integrar termo a termo:
  1. integral x , dx = 12x^2
  2. integral -1 , dx = -x
  3. integral 4x + 2 , dx = 4 ln|x + 2|
  4. integral -1x - 1 , dx = -ln|x - 1|

Resposta

Juntando tudo, a integral indefinida é:
12x^2 - x + 4, ln|x + 2| - ln|x - 1| + C
Onde C é a constante de integração.

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