Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:
® integral arcsen xraiz1-x^2 d x

Passo 1

Beleza, a gente tem a integral indefinida de arcsen xraiz1 - x^2 , dx. Vamos usar a técnica de substituição para resolver isso. Precisamos lembrar como funciona a substituição em integrais e conhecer um pouco sobre funções trigonométricas inversas.

Passo 2

Vamos começar fazendo uma substituição para simplificar a integral. Seja:
u = arcsen x
Isso significa que estamos definindo u como a função arco seno de x.

Passo 3

Agora, vamos diferenciar u em relação a x para encontrar du:
du = ddx(arcsen x) , dx = 1raiz1 - x^2 , dx

Passo 4

Rearranjando a equação para expressar dx em termos de du, temos:
dx = raiz1 - x^2 , du

Passo 5

Vamos substituir u e dx na integral original:
integral arcsen xraiz1 - x^2 , dx = integral uraiz1 - x^2 cdot raiz1 - x^2 , du = integral u , du
Note que raiz1 - x^2 cancela no numerador e denominador.

Passo 6

Agora, a integral ficou bem mais simples:
integral u , du = u^22 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, substituímos u de volta para a variável original x:
u^22 + C = (arcsen x)^22 + C

Resposta

A integral indefinida é (arcsen x)^22 + C.

Exercícios relacionados